Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Тензор поляризуемости

Внутренняя геометрия кристаллов | Химические связи в кристаллах | Рост кристаллов | Кристаллические решетки | Симметрии в двух измерениях | Симметрии в трех измерениях | Прочность металлов | Эллипсоид энергии | Другие тензоры; тензор инерции | Векторное произведение |


Читайте также:
  1. Возражения против гипотезы вейлевского тензора
  2. Другие тензоры; тензор инерции
  3. Преобразование компонент тензора
  4. Тензор деформации
  5. Тензор напряжений
  6. Тензор упругости

У физиков есть привычка брать простейший пример какого-то явления и называть его «фи­зикой», а примеры посложнее отдавать на рас­терзание других наук, скажем прикладной ма­тематики, электротехники, химии или кристал­лографии. Даже физика твердого тела для них только «полуфизика», ибо ее волнует слишком много специальных вопросов. По этой-то при­чине мы в наших лекциях откажемся от множе­ства интересных вещей. Например, одно из важнейших свойств кристаллов и вообще боль­шинства веществ — это то, что их электрическая поляризуемость различна в разных направле­ниях. Если вы в каком-либо направлении приложите электрическое поле, то атомные заряды слегка сдвинутся и возникнет дипольный момент; величина же этого момента зави­сит очень сильно от направления приложенного поля. А это, конечно, усложнение. Чтобы об­легчить себе жизнь, физики начинают разговор со специального случая, когда поляризуемость во всех направлениях одинакова. А другие случаи мы предоставляем другим наукам. По­этому для наших дальнейших рассмотрении нам совсем не понадобится то, о чем мы соби­раемся говорить в этой главе.

Математика тензоров особенно полезна для описания свойств веществ, которые изменяются с направлением, хотя это лишь один из приме­ров ее использования. Поскольку большин­ство из вас не собираются стать физиками, а намерены заниматься реальным миром, где зависимость от направления весьма сильная, то рано или поздно, но вам понадобится исполь­зовать тензор. Вот, чтобы у вас не было здесь пробела, я и собираюсь рассказать вам про тензоры, хотя и не очень подробно. Я хочу, чтобы ваше понимание физики было как можно более полным. Электродинамика, например, у нас вполне законченный курс; она столь же полна, как и любой курс электричества и магнетизма, даже институтский. А вот механика у нас не закончена, ибо, когда мы ее изучали, вы еще не были столь тверды в математике и мы не могли обсуждать такие разделы, как принцип наименьшего действия, лагран­жианы, гамильтонианы и т. п., которые представляют наиболее элегантный способ описания механики. Однако полный свод законов механики, за исключением теории относительности, у нас все же есть. В той же степени, как электричество и магне­тизм, у нас закончены многие разделы. Но вот квантовую ме­ханику мы так и не закончим; впрочем, нужно что-то оставить и на будущее! И все же, что такое тензор, вам все-таки следует знать уже сейчас.

В гл. 30 мы подчеркивали, что свойства кристаллического вещества в разных направлениях различны — мы говорим, что оно анизотропно. Изменение индуцированного дипольного мо­мента с изменением направления приложенного электрического поля — это только один пример, но именно его мы и возьмем в качестве примера тензора. Будем считать, что для заданного направления электрического поля индуцированный дипольный момент единицы объема Р пропорционален напряженности при­кладываемого поля Е. (Для многих веществ при не слишком больших Е это очень хорошее приближение.) Пусть константа пропорциональности будет a. Теперь мы хотим рассмотреть вещества, у которых а зависит от направления приложенного поля, например известный вам кристалл турмалина, дающий удвоенное изображение, когда вы смотрите через него.

Предположим, мы обнаружили, что для некоторого выбран­ного кристалла электрическое поле Е1 ; направленное по оси х, дает поляризацию Р1, направленную по той же оси, а одина­ковое с ним по величине электрическое поле Е2, направленное по оси у, приводит к какой-то другой поляризации Р2, тоже нап­равленной по оси у. А что получится, если электрическое поле приложить под углом 45°? Ну, поскольку оно будет просто суперпозицией двух полей, направленных вдоль осей х и y, то поляризация Р равна сумме векторов P1 и Р2, как это пока­зано на фиг. 31.1, а.

Фиг. 31.1. Сложение векторов поляризации в анизотропном кристалле.

Поляризация уже не параллельна направ­лению электрического поля. Нетрудно понять, отчего так про­исходит. В кристалле есть заряды, которые легко сдвинуть вверх и вниз, но которые очень туго сдвигаются в стороны. Если же сила приложена под углом 45°, то эти заря­ды более охотно движутся вверх, чем в сторону. В результате такой асимметрии внутренних упругих сил перемещение идет не по направлению внешней силы. Разумеется, угол 45° ничем не выде­лен. То, что индуцированная поляри­зация не направлена по электрическо­му полю, справедливо и в общем случае. Перед этим нам просто «посчастливи­лось» выбрать такие оси х и у, для которых поляризация Р была направлена по полю Е. Если бы кристалл был повернут по отношению к осям координат, то электрическое поле Е 2, направленное по оси y, вызвало бы поляризацию как по оси у, так и по оси х. Подобным же образом поляризация Р, вызван­ная полем, направленным вдоль оси х, тоже имела бы как х-, так и y-компоненты. Так что вместо фиг. 31.1, а мы получили бы нечто похожее на фиг. 31.1,6. Но несмотря на все это ус­ложнение, величина поляризации Р для любого поля Е по-преж­нему пропорциональна его величине.

Рассмотрим теперь общий случай произвольной ориентации кристалла по отношению к осям координат. Электрическое поле, направленное по оси х, дает поляризацию Р с компонентами по всем трем осям, поэтому мы можем написать

Рx =axxEx, Ру=aухЕх, Рz=azxЕx. (31.1)

Этим я хочу сказать лишь, что электрическое поле, направ­ленное по оси х, создает поляризацию не только в этом нап­равлении, оно приводит к трем компонентам поляризации Рх, Рy и Pz, каждая из которых пропорциональна Ех. Коэффициен­ты пропорциональности мы назвали a хх, aух и azx (первый зна­чок говорит, о какой компоненте идет речь, а второй относится к направлению электрического поля).

Аналогично, для поля, направленного по оси у, мы можем написать

Рх=aхуЕy, Ру=aууЕу, Рz=aгуЕу, (31.2)

а для поля в z-направлении

Px= a xzEz, Py=ayzEz Pz=azzEz. (31,3)

Дальше мы говорим, что поляризация линейно зависит от поля; поэтому если у нас есть электрическое поле Е с компонентами х и у, то x-компонента поляризации Р будет суммой двух Рх, определенных уравнениями (31.1) и (31.2), ну а если Е имеет составляющие по всем трем направлениям х, у и z, то состав­ляющие поляризации Р должны быть суммой соответствующих слагаемых в уравнениях (31.1), (31.2) и (31.3). Другими словами, Р записывается в виде

Диэлектрические свойства кристалла, таким образом, пол­ностью описываются девятью величинами (axx,, axy,,axz,ayz,...), которые можно записать в виде символа a ij. (Индексы i и j заменяют одну из трех букв: х, у или z.) Произвольное электри­ческое поле Е можно разложить на составляющие Еx, Еy и Еz. Зная их, можно воспользоваться коэффициентами aij и найти Рх, Рy и Pz, которые в совокупности дают полную поляризацию Р. Набор девяти коэффициентов aij называется тензором — в данном примере тензором поляризуемости. Точно так же как три величины х, Еу, Еz) «образуют вектор Е», и мы говорим, что девять величин (aхх, aху,...)«образуют тензор a ij».


Дата добавления: 2015-08-20; просмотров: 122 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Дислокации и рост кристаллов| Преобразование компонент тензора

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)