Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Решение задач на геометрическое определение вероятности

Исходные понятия, определения | Операции над событиями | Классическое и статистическое определение вероятности. Геометрические вероятности | Решение задач на сложение и умножение вероятностей | Формула полной вероятности и формула Байеса | Решение задач на применение формулы полной вероятности и формулы Байеса | Повторение испытаний | Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения |


Читайте также:
  1. A. Обесценение активов: его определение и признаки
  2. I. Задачи маркетингового исследования
  3. I. Определение победителей
  4. I. Постановка задачи. Обсуждение ситуации.
  5. I. Цели и задачи фестиваля.
  6. I. ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ, ОРГАНИЗАЦИЯ, ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ И МЕТОДЫ ПРОВЕДЕНИЯ ХИМИЧЕСКОЙ РАЗВЕДКИ
  7. I. Цель и задачи конкурса
3.1. Разобрать решение задач, заполнив пропуски
Задача1. На отрезке единичной длины случайным образом появляется точка. Найти вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка больше . Решение. По условию задачи искомому событию удовлетворяют все точки, появляющиеся на интервале . См. Рис.6. Его длина . Длина всего отрезка .
Рис.6
Значит, искомая вероятность .

Задача 2.В круг радиуса наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она не попадет в правильный треугольник, вписанный в этот круг. Решение.
Мерой множества возможных исходов является площадь круга: . Мерой множества благоприятных исходов – разность площадей круга и треугольника . Площадь треугольника, вписанного в круг, находится по формуле: .          
Задача 3.На отрезке наудачу выбраны два числа и . Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам . Решение.
По условию задачи координаты точки удовлетворяют системе неравенств . Это означает, что точка наудачу выбирается из множества точек квадрата, длина стороны которого равна 2.
y
 
 
 
x
Рис.7
Точки квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенствам , принадлежат фигуре, закрашенной на рис.7.

Мерой множества возможных исходов является площадь квадрата: .

Мерой множества благоприятных исходов – площадь закрашенной фигуры: .

     
Задача 4. На отрезке длины числовой оси наудачу поставлены две точки: и , причем . Найти вероятность того, что длина отрезка окажется меньше, чем . Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. Решение.
Координаты точек и должны удовлетворять неравенствам . Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат. В этой системе указанным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей заштрихованному прямоугольному треугольнику. Длина отрезка должна быть меньше, чем , т.е. должно иметь место неравенство . Это неравенство выполняется для точек, которые лежат в закрашенной трапеции (рис.8).
L/2
y
 
 
L
L
L/2
Рис.8
Мерой множества возможных исходов является площадь заштрихованного прямоугольного треугольника: .

а мерой множества благоприятных исходов – площадь закрашенной трапеции: .

       
Задача 5. В шар вписан куб. Точка наудачу зафиксирована в шаре. Найти вероятность того, что точка попадет в куб. Решение.
Введем обозначения – радиус шара, – ребро куба. В этом случае мерой множества возможных исходов является объем шара: , а мерой множества благоприятных исходов – объем вписанного куба: .    
Задача 6. Какова вероятность того, что из трех взятых наудачу отрезков длины не больше можно построить треугольник? Решение.
Обозначим длины этих отрезков через . Из условия задачи следует, что . Обозначим через множество точек с координатами для которых выполняются данные неравенства, т. е. – куб с ребром .   Исходя из условия задачи и учитывая введенные обозначения, получается, что эксперимент состоит во взятии наудачу трех отрезков, длины которых . Мы его отождествим с экспериментом, состоящим во взятии точки из куба . Чтобы построить из этих трех отрезков треугольник, необходимо выполнение условий . Эти неравенства определяют тело (рис.9), которое получается отбрасыванием от куба трех тетраэдров, отсекаемых плоскостями .
l
l
l
x
z
y
Рис.9

Итак, в нашем случае мерой множества возможных исходов является объем куба с ребром : ,

а мерой множества благоприятных исходов — объем тела : .


Дата добавления: 2015-08-10; просмотров: 628 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности| Теоремы сложения и умножения вероятностей

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)