Читайте также:
|
В предыдущем разделе мы установили пределы последовательностей, которые определялись арифметическими выражениями
(1.10)
и, в предположении, что последовательности 
и 
стремятся к конечным пределам (из которых, в случае частного, xn и предел не должны были равняться нулю).
Остановимся теперь на случаях, когда пределы последовательностей и будут (один или оба) бесконечными или – если речь идет о частном – когда предел знаменателя будет нулем.
Начнем рассмотрение именно с частного:
1) Если имеет конечный предел, а стремится к ∞, то 
стремится к нулю.
В самом деле, 
; так как второй множитель есть бесконечно малая (как обратная бесконечно большой), то, по теореме 2 (п.5.3), и 
есть также бесконечно малая.
2) Если имеет предел, конечный или нет, а xn ® 0, то 
∞.
Имеем 
. К последовательности 
применима теорема 3 о пределе частного – она стремится к нулю. Следовательно, последовательность 
(как обратная бесконечно малой) имеет пределом ∞.
3) Если yn →∞, а 
имеет конечный предел, то 
.
Действительно, так как 
в силу 1) стремится к нулю, то 
.
4) Теперь переходим к случаю, когда обе последовательности 
и одновременно стремятся к нулю. В этом случае никакого общего заключения о пределе последовательности мы сделать не можем. Этот предел, в зависимости от закона изменения обеих последовательностей, может иметь различные значения или даже вовсе не существовать. Поясним это на примерах.
Пусть 
, и 
; обе последовательности стремятся к нулю. Их отношение 
также стремится к нулю. Если же, наоборот, положить 
, 
, то, хотя они по прежнему стремятся к нулю, на этот раз их отношение 
стремится к ∞! Взяв же любое отличное от нуля число l и построив две бесконечно малые 
и 
, видим, что отношение их имеет пределом l (так как тождественно равно l).
Наконец, если 
, 
(обе имеют пределом нуль), то отношение 
оказывается вовсе не имеющим предела.
Таким образом, одно знание пределов последовательностей и в данном случае не позволяет еще судить о поведении их отношения, - необходимо знать также закон их изменения. Для того, чтобы характеризовать эту особенность случая, когда yn ® 0 и xn ® 0, говорят, что выражение 
представляет неопределенность – вида 
.
5) В случае, когда одновременно yn ® ∞ и xn ® ∞, имеет место подобное же обстоятельство. Не зная самих последовательностей, общего утверждения о поведении их отношения сделать нельзя. Проиллюстрируем это на примерах:
yn = n ® ∞, xn = n 2 ® ∞, = 
0;
yn = n 2 ® ∞, xn = n ® ∞, = 
∞;
yn = l·n ® ∞ (l ¹ 0), xn = n ® ∞, 
;
yn = (- 1) n·n ® ∞, xn = n ® ∞, 
вовсе не имеет предела.
И в этом случае говорят, что выражение представляет неопределенность – вида 
.
Обратимся к рассмотрению произведения 
:
6) Если 
имеет предел, конечный или нет, но не равный нулю, а xn ® ∞, то ® ∞.
В самом деле, последовательность 
есть бесконечно малая (так как первый множитель имеет конечный предел, а второй стремится к нулю); отсюда и вытекает требуемое заключение.
7) Если уn ® 0, в то время как xn ® ∞, то исследуя поведение произведения 
мы сталкиваемся с такой же особенностью, как и в пунктах 4) и 5). Об этом свидетельствуют примеры:
, вовсе не имеет предела.
В связи с этим при 
и 
, говорят, что выражение 
представляет неопределенность вида 0·¥.
Рассмотрим, наконец, алгебраическую сумму 
:
8) если 
∞, а 
имеет конечный предел, то 
∞.
9) Если 
и 
обе стремятся к +∞ (или обе к –∞), то к тому же пределу стремится и сумма 
.
Доказательство 8) и 9) предлагаем провести самостоятельно.
10) Случай же, когда 
и 
стемятся к бесконечности разных знаков, снова оказывается особым: о сумме ничего определенного сказать нельзя, не зная самих последовательностей 
и 
.
Примеры.
– предела не имеет.
Ввиду этого, при 
говорят, что выражение 
представляет неопределенность вида ∞ – ∞.
Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 50 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Арифметические операции над последовательностями, имеющими предел | | | Неопределенные степенно-показательные выражения |