Примеры выполнения типового расчета

Задача 1. Пластина D ограничена линиями: y = 4 – x ²; х = 0; y = 0 (x ≥ 0; y ≥ 0) Поверхностная плотность γ ₀ = 3.
Решение. Область, заданная в задаче, ограничена параболой y = 4 – x ², осями координат и лежит в первой четверти (рис. 1). Задачу будем решать в декартовой системе координат. Эта область может быть описана системой неравенств:

Рис. 1

Площадь S пластины равна (1):

Так как пластина однородная, ее масса m = γ ₀ S = 3· = 16.
По формулам (3), (4) найдем статические моменты пластины:




Координаты центра масс находятся по формуле (6):

Ответ: S ≈ 5,33; m = 16; M_x = 25,6; M_y = 12; = 0,75; = 1,6.

Задача 2. Пластина D ограничена линиями: х ² + у ² = 4; х = 0, у = х (х ≥ 0, у ≥ 0). Поверхностная плотность γ (x,y) = у.
Решение. Пластина ограничена окружностью и прямыми, проходящими через начало координат (рис. 2). Поэтому для решения задачи удобно использовать полярную систему координат. Полярный угол φ меняется от π/4 до π/2. Луч, проведенный из полюса через пластину, «входит» в неё при ρ = 0 и «выходит» на окружность, уравнение которой: х ² + у ² = 4 <=> ρ = 2.

Рис. 2

Следовательно, заданную область можно записать системой неравенств:

Площадь пластины найдем по формуле (1):

Массу пластины найдем по формуле (2), подставив γ (x,y) = у = ρ sin φ:


Для вычисления статических моментов пластины используем формулы (3) и (4):




Координаты центра масс получим по формулам (6):

Ответ: S ≈ 1,57; m ≈ 1,886; M_x = 2,57; M_y = 1; = 0,53; = 1,36.

Дата добавления: 2015-07-20