Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

В декартовых координатах

ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА | Решение. | Решение. | ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ |


Читайте также:
  1. В КУЛЬТУРОЛОГИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
  2. В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
  3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
  4. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.

Различают основные виды области интегрирования.

1. Областью интегрирования является прямоугольник: область D ограничена слева и справа прямыми x = a и x = b, а снизу и сверху – прямыми y = c и y = d (рис. 2).

 

Рис. 2

 

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

= = . (3)

2. Областью интегрирования является правильная замкнутая область D. (Область D называется правильной, если любые прямые, параллельные оси Ox или оси Oy пересекают область D не более, чем в двух точках.)

Область интегрировании D ограничена слева и справа прямыми x = a и x = b, а снизу и сверху непрерывными кривыми y= и y= ( ) (рис.3), т.е.

 

D: (4)

 

 

 
 

 


 

Рис. 3

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

= , (5)

причем сначала вычисляется внутренний интеграл , в котором x считается постоянным.

3. Правильная замкнутая область интегрирования D ограничена снизу и сверху прямыми y = c и y = d (c < d), а слева и справа – непрерывными кривыми x= и x= ( ) (рис.4), т.е.

D: (6)

 

 
 

 

 


Рис. 4

 

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

= , (7)

причем сначала вычисляется внутренний интеграл , в котором y считается постоянным.

4. В случае неправильной области D двойной интеграл сводится к сумме интегралов:

= . (8)

При вычислении двойных интегралов необходимо помнить, что:

1. Пределы внешнего интеграла в повторном всегда постоянны. Отрезком интегрирования является проекция правильной области интегрирования D на соответствующую координатную ось.

2. Пределы внутреннего интеграла являются функциями переменной интегрирования внешнего интеграла.

3. В повторном интеграле сначала вычисляется внутренний интеграл, а затем внешний.

4. При вычислении внутреннего интеграла переменная, по которой берется внешний интеграл, рассматривается как постоянная. Его пределы рассматриваются длянего также как постоянные.

5. В случае области (4), если кривая y= или y= в промежутке a x b задается несколькими аналитическими выражениями, то двойной интеграл сводится к сумме повторных интегралов, в каждом из которых функция y= или y= задается одним аналитическим выражением. Аналогично для области (6).

 

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 61 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ| В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)