Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Двойной интеграл

Криволинейные координаты на плоскости. | Замена переменных в двойном интеграле. | Задачи. | Вычисление площадей плоских областей. | Вычисление объемов тел. | Вычисление площадей поверхностей. | Задачи. |


Читайте также:
  1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
  2. Вычисление двойного интеграла. Двукратный (повторный) интеграл.
  3. Вычисление двойных интегралов
  4. Вычисление интегралов при помощи вычетов
  5. Вычисление интегралов с помощью вычетов
  6. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов.
  7. Геометрические приложения двойного интеграла.

Глава ХIII

 

1. Основные понятия. На плоскости Оху рассмотрим область S площади S, ограниченную замкнутой кривой g. Пусть в области S определена и непрерывна функция . Разобьем область S произвольным образом на n областей (рис. 3), имеющих площади и диаметры (диаметром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). В каждой i –ой элементарной области выберем произвольную точку , значение функции в этой точке умножим на площадь соответствующей области и все произведения сложим. Полученная сумма

называется интегральной суммой функции в области S.

Двойным интегралом от функции по области S называется конечный предел I интегральной суммы In при , где .

.

y
       
   
 

y=j 1(x)

 

 


y=j 2(x)

 

О х О а b x

 

 

Обозначения двойного интеграла:

.

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторных интегралов следующим способом. Пусть область S ограничена кривыми (рис. 4), причем всюду на функции и непрерывны и . Тогда

(1)

причем сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной у (х является параметром), а полученный результат интегрируется по х. Двойной интеграл, представленный в виде (1), называется повторным интегралом.

Если функция , интегрируемая в прямоугольнике , может быть представлена в виде произведения функции только от х на функцию только от у: , то

. (2)

 

Пример.

Вычислить интеграл , расставив пределы интегрирования двумя способами, где S – область, ограниченная линиями .

Решение.

Параболы, ограничивающие область S, пересекаются в двух точках (рис. 5).

1) Найдем пределы интегрирования:

, .

Запишем двойной интеграл в виде повторного по формуле (1):

 
 

2) Найдем пределы интегрирования:

.

Запишем интеграл в виде (1):

 

Пример.

Вычислить интеграл , где область S является прямоугольником .

Решение.

Запишем данный интеграл в виде повторного:

.

Так как область S является прямоугольником, то по формуле (2) имеем

.

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 62 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
ИССЛЕДОВАНИЕ ЯВЛЕНИЯ ДВОЙНОГО ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЯ, ПОСТРОЕНИЕ ВОЛНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ| Задачи.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)