Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Алгебраические критерии устойчивости(Рауса, Гурвица и т.д)

Принципы построения САУ. | Классификация систем автоматического управления. | Понятие о звене САУ и его статической характеристике. | Типовые входные воздействия. Переходная и импульсная характеристики. | Понятие передаточной функции. Свойства преобразования Лапласа. | Понятие о частотных характеристиках. | Типовые динамические звенья (временные и частотные характеристики, передаточные функции). | Преобразование структурных схем САУ. Связь структурных схем с графами. | Передаточные функции группы звеньев при последовательном, параллельном и встречно-параллельном соединении звеньев. | Понятие устойчивости САУ. |


Читайте также:
  1. II. Показатели продовольственной безопасности Российской Федерации и критерии их оценки
  2. II. Показатели продовольственной безопасности Российской Федерации и критерии их оценки
  3. IV. Критерии оценки реализации Программы .
  4. Алгебраические Максвелла уравнения
  5. Виды посредников на рынке оптовых услуг и критерии их выбора.
  6. Внутренние критерии эффективности позволяют понять, казалось бы, самые не логичные и кажущиеся внешнему наблюдателю глупыми решения и действия.

Def: К.У. – называются признаки по которым можно судить об устойчивости САУ без решения диф. ур-ий динамики системы и без нахождения корней. Все критерии делятся на 2 группы: а) Алгебраические, которые основаны на анализе коэф. харак-го ур-я.; б) частотная, которая основана на анализе частот. характ-к системы. Простейший алгебраический критерии Стодолы. Простейшим необходимым, но недостаточным крит. уст. яв-ся требование, чтобы все коэфф. характ-го ур-я имели одинаковый знак. Док-во: Пусть мы имеем устойчивую систему с хар. ур-ем anpn+ an-1pn-1+…+ a1p+ a0=0 (1), для устойчивости системы все корни имеют отриц. Вещественную часть. p1=-α1, p1=-α2, p3,43±jβ3,…, pn=-αn, где α и β – неотр. числа, тогда ур-е (1) можно записать an(p-p1)*(p-p2)*(p-p3)…(p-pn)=0, подставив значение корней an(p+α1)*(p+α2)*(p+α3-jβ3) * (p+α3+jβ3)…(p+αn)=0. an(p+α1)*(p+α2)*[(p+α3)232] …(p+αn)=0. Раскроем скобки и приведем к исходному виду(1). Перемножая и складывая положит. числа нельзя получить отрицательные т.е все коэфф. будут положительными ур-я (1) или отрицат. в зависимости от знака аn. Для систем I и II порядков этот критерий явл-я необходимым и достаточным. Для систем более высоких порядков(III и выше) этот критерий яв-ся необходимым т.е если хотя бы один коэф. характ-го ур-я имеет знак отличный от знака других коэф-ов, то можно сразу сказать что система не устойчива и никаких других исследов. проводить не нужно. Недостаточность критерия состоит в том что для некоторых неустойчивых систем мы можем получить все коэфф. одного знака и требуется дополнит. исследования. Были разработаны другие алгеб. критерии устойчивости которые яв-ся как необходимыми так и достаточными. Наиб. распростран. получили критерий Рауса и критерий Гурвица. Оба эти критерия в конце концов приводят к одной и той же системе неравенств. Критерий Рауса: правило постр. определителя Рауса a0pn+ a1pn-1+…+ an-1p+ an=0. 1-я строка: заполняется коэфф. с четными индексами, 2-я строка: заполняется коэфф. с нечетными индексами,

3-я строка и последующая получ. вычислением из предыдущих двух строк. Каждый элемент получ. перекрестным умножением элементов двух предыдущих строк

и делением элемента предыдущей строки: ci,k=(ci-2,k+1*ci-1,1- ci-2,1*ci-1,k+1)/ ci-1,1. Всего строк в таблице будет n+1. Постепенно справа появ-я нули и число значущих элементов умножается. Для устойчивости САУ необходимо и достаточно чтобы коэфф. 1-ого столбца таблицы Рауса были отличны от нуля и положительны (ci,1≠0; ci,1>0). Если хотя бы появ-ся 0 то система находится на границе устойчивости, если отриц. число то система неустойчива. Критерий Гурвица: Правило состав. опред. Гурвица. Главная диагональ определ. послед. заполняется коэфф. харак. ур-я начиная с коэфф. при (n-1) производной т.е pn-1 и до свободного члена. Столбцы вверх от диагонали заполняют последоват. коэфф. по убыв. степ; вниз по возраст. степеням “p”. На месте коэфф. индексы котор. (>n и <0) ставят 0. a0pn+ a1pn-1+…+ an-1p+ an=0.

Def: Для того чтобы хар-ое ур-е системы имело все корни с отриц. веществ. частью необходимо и достаточно, чтобы главный определ. Гурвица (∆n) и все его

диагональные миноры (∆n-1, ∆n-2, ∆1) имели один знак с коэфф. при старшей производной (аn>0).

Пример: а) система I-порядка D(p)=a1p+ a0=0, ∆n= |a0|=a0. {a1>0a0>0; б) система II-порядка D(p)= a2p2+ a1p+a0 =0, ∆2= |a1 0a2 0 |, ∆1=|a1|=a1; {a2>0a1>0a0>0; в) система III-порядка D(p)= a3p3+a2p2+ a1p+a0 =0, ∆2= |a2 a0 0 a3 a1 0 0 a2 a0 |= a0*∆2=a0* |a2 0a3 a1 |, ∆2=

|a2 0a3 a1 |=a2 *a1 – a0 *a3. ∆1=|a2|=a2.

 
 

 


Wзу(р)=((КnK0)/p(T022p2+T01p+1))/(1+((КnK0)/p (T022p2+T01p+1)))= (КnK0)/(T022p3+T01p2+p+ КnK0 + 1), где а3=T022p3, а2=T01p3, а1=p, а0nK0.

а1а23а0, T01>T022nK0,

Кn ≤ T01/ T022nK0. При равенстве система будет находиться на границе устойчивости. Значение варьированного параметра при которой

система наход. на границе устойчивости назыв. критическими. Недостаток алгебр. критерия: они дают ответ устойчива система или нет и ничто не говорят что надо сделать чтобы система стала устойчивой. С инженерной точки зрения более удобным оказываются частотные критерии.

 

 

18. Частотные критерии устойчивости:(Михайлова, Найквиста и т.д)

Принцип аргумента: Пусть задано хар-е ур-е D(p)=anpn+ an-1pn-1+…+ a1p+ a0=0, Это уравнение можно записать через его корни D(p)= an(p-λ1) * (p- λ 2)*(p- λ 3)…(p- λ n)=0, λ 1, λ 2, λ 3, λ n – корни полинома D(p). Сделаем подстановку p=jω и перейдем в частотную область D(jω)= an(jω -λ1 ) * (jω - λ 2)*(jω - λ 3)…(jω - λ n)=0. Представим элементарный множитель (jω-λ i) в виде вектора на комплексной плоскости и рассмотрим его поведение при изменении частоты ω от -∞ до +∞.

Для корня с отриц. вещественной частью вектор jω-λi будет поворачиваться против часовой стрелки в положит. направлении на 1800. Обозначим этот разворот как приращение аргумента

элементарного вектора: ∆arg(jω-λi)=+π, ω(-∞;+∞). Для корня с положит. веществ. частью это приращение составит: ∆arg(jω-λi)=-π. Если система устойчива, то все n-корней лежат слева мнимой оси и приращение аргумента функции D(jω). ∆arg[D(jω)]=+π*n, (-∞;+∞). Если рассматривать только положит. значение частоты т.е ω(0,+∞) то приращение составит: ∆arg[D(jω)]=(π/2)*n. Критерий уст-ти Михайлова: Используя принцип аргумента исследуем поведение ф-ии D(jω) при изменении частоты ω(0;+∞). D(jω)=an(jω)n+ an-1(jω)n-1+…+ a1(jω)+ a0=R(ω)+jQ(ω). Для каждого значения частоты ω имеем вектор, который будет поворач. при изменении частоты. Траектория конца вектора назыв. траекторией годографа Михайлова. В соотв. с принципом аргумента можно сфор. кр. Михайлова: Def САУ будет устойчива если годограф функции D(jω) начинается на положительной вещественной полуоси и проходит послед. n-квадрантов нигде не нарушая порядок следоват. квадрантов и не обращаясь в 0.

 

 


Условие нахождения системы на границе устойчивости: D(jω)=0,при {R(∞)=0Q(∞)=0 D(p)= T022p3+T01p2+p+ КnK0, D(jω)=

T022(jω)3 +T01(jω)2+(jω)+ КnK0=(КnK0-T01ω2)- jω (T022ω2 -1). {КnK0-T01ω2=0 T022ω2 –1, ω2= КnK0/T01, (T022nK0)/ T01=> Knкрит= T01/T022K0. Формулировка критерия Мих-ва может быть изменена:

Для устойчивой САУ годограф начин. на положит. веществ. полуоси и должен поочередно пересекать

мнимую и веществ. оси. Построим R(ω), Q(ω).

Вывод; для уст-й. САУ ф-ии R(ω) и Q(ω) должны по очереди пересек. ось абцисс, корни R и Q должны

чередоваться. Крит. уст-ви Найквиста: В отличии от ранее рассмот. крит. уст-ви. кот. опирались на соотв. исслед. системы хар-ки. Крит. Найквиста осн-н на анализе АФХ, КЧХ разом. системы по виду кот. судят об уст-ти замкн. системы. Причем АФХ может быть использ. как аналит. так и эксперим. Пусть имеем след. систему: Wз(p)=Wp(p)/1+Wp(p)

для систем 1-ой обрат. связью, Wp(p)=W1(p)*W1(p),Wp(p)=

М(р)/D(p) при (m≤n).Учитывая это получим Wз(p)= М(р)/(D(p)

+М(р))=М(р)/Dз(p).Устойчив.

замкнутой системы определ. хар-им ур-ем: Dз(p)=D(p)+М(p)=0. Ур-е анолог. годогр. Михайлова для замк-ой системы имеет вид: 1+ Wp(p)=0, 1+ Wp(jω)=0, Wp(jω)=-1. т.е крит. точка смещ. в т. с коорд.(-1; j0). Рассмот. повед. век-ра

1+Wp(jω)=F(jω)-вектор F(jω)=1+М(jω)/(D(jω)= Dз(jω)/D(jω). Применим принцип аргумента: ∆argF(jω)= ∆arg

Dз(jω)- ∆argD(jω). Чтобы замкн. система была устойч. необход. чтобы все корни Dз(jω) имели отриц. веществ. часть, но если корни слева, то тогда: ∆argDз(jω)=(П/2)*n. Пусть разомк. система не устойч. и имеет r-корней с положит. веществ. частью тогда: ∆argD(jω)=((n-r)*П/2)-r*П/2. и общее приращ. ф-и будет: ∆argF(jω)=((П/2)*n)-((n-r)*П/2)+r*П/2=(П/2)*2r. Получ. результат треб. для устойч. замк. САУ чтобы вектор F(jω) совершил r/2 оборотов в положит. направл. Def: замкн. САУ будет устой-ва если АФХ разом. сист. охватыв. точку с коорд.(-1; j0) r/2 раз, где r- число корней хар-ого ур-я раз. сист. с положит. веществ. частью. Если раз. сист. устой-ва т.е r=0, то фор-ка упрощ. Def: замк. САУ будет уст. Если АФХ раз. сист. неохват. т.(-1; j0).

 

Замк. САУ будет уст-м если АЧХ разом. сист. станет <1. раньше чем ФЧХ достигнет знач.

-П,φ(ω)=-П. Для ЛАЧХ: замкн. САУ будет уст. если ЛАЧХ

раз-ой сист. станет <0дБ, раньше чем ФЧХ достигнет знач. –П.

 


Дата добавления: 2015-07-25; просмотров: 231 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Связь устойчивости с корнями характеристического уравнения САУ. Теоремы Ляпунова.| Применение критерия Найквиста при наличии астатических и консервативных звеньев.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)