Промежутки возрастания и убывания функции. Экстремумы функции

Достаточный признак возрастания функции : если в каждой точке некоторого интервала, то возрастает на этом интервале. Достаточный признак убывания функции : если в каждой точке некоторого интервала, то на этом интервале функция убывает. Следовательно, отыскание промежутков монотонности функции сводится к нахождению промежутков знако-постоянства ее первой производной .

Точка х = х ₀ называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки х ₀, что для всех х (х х ₀) из этой окрестности выполняется неравенство < (соответственно > ). Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума, а значения функции в точке максимума (минимума) – максимумом (минимумом) или экстремумом функции. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Теорема Ферма (необходимое условие экстремума). Если точка х ₀ является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная , то она равна нулю =0.

Достаточное условие существования экстремума: Пусть функция непрерывна в точке х ₀ и имеет производную в некоторой окрестности точки х ₀, кроме, может быть, самой точки х ₀, тогда:а) если при переходе через точку х ₀ меняет знак с плюса на минус, то точка х ₀ является точкой максимума функции ;

б) если при переходе через точку х ₀ меняет знак с минуса на плюс, то точка х ₀ является точкой минимума функции .

Алгоритм нахождения промежутков монотонности и точек экстремума:

1) найти критические точки функции f и нанести их на числовую прямую, выделив точки разрыва функции f;

2) найти знак производной на каждом из получившихся промежутков;

3) определить по знаку производной характер монотонности функции на каждом промежутке;

4) выяснить наличие экстремума в каждой критической точке, отличной от точек разрыва функции.

---

Дата добавления: 2015-07-25