Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

директрисы.

Различные виды уравнения прямой | Уравнение прямой, проходящей через данную точку в | Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, пересечение прямых | Различные виды уравнения плоскости | Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей | Расстояние d от точки М0 до плоскости | Различные виды уравнения прямой в пространстве | Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых | Прямые совпадают,когда и точка (x1; у1; z1) L2 и, наоборот, точка (x2; у2; z2) L1. | ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ |


 

Каноническое уравнение параболы: у 2 = 2 рх, (5)

 

где р > 0 – параметр параболы – число, равное расстоянию от фокуса F до директрисы l.

 

Координаты фокуса: F (; 0). Точка О (0; 0) – вершина

параболы; длина r отрезка FMфокальный радиус точки М; ось Ох

 

ось симметрии параболы.

Уравнения директрисы l параболы: х = - . Фокальный радиус r = х + .

Парабола, симметричная относительно

оси Оу и проходящая через начало координат,

имеет уравнение: х 2 = 2 ру. Ее фокусом

 

является точка F (0; ). Уравнения директрисы

у = - . Фокальный радиус r = у + .

 

Эскизы графиков других парабол:

 

                       
 
   
       
     
 
 
 
 

 

 


у 2 = -2 рх x 2 = -2 рy (у – y 0)2 = 2 р (x – x 0) ↑ (x – x 0)2 = 2 р (y – y 0) ↑

(у – y 0)2 = -2 р (x – x 0) х – x 0)2=-2 р (y–y 0)

 

Пример 14. Дана парабола х 2 = 4 у. Найти координаты ее фокуса, уравнение

директрисы, длину фокального радиуса точки М (4; 4).

 

Парабола задана каноническим уравнением. Следовательно, 2 р =4, р =2. Используя вышеприведенные формулы, находим, что фокус имеет координаты (0; 1), т.е. F (0; 1); уравнение директрисы имеет вид

у = –1; фокальный радиус точки М (4; 4) равен r = 4 + 1 = 5.

 

Пример 15. Найти вершину, фокус и директрису параболы у = –2 х 2 + 8 х – 5,

построить эскиз графика.

 

Приведем уравнение параболы к каноническому виду, выделив в правой части полный квадрат:

у = –2(х 2 – 4 х + ) = –2(х 2 – 4 х + 4 – 4 + ) = –2((х – 2)2) = –2(х – 2)2 + 3, т.е.

у = –2(х – 2)2 + 3 или (х – 22 = – (у – 3).

Уравнение параболы имеет вид, как на рисунке. Вершина

параболы имеет координаты (2; 3); 2 р = , р = .

Прямая х = 2 является осью симметрии параболы.

Координаты фокуса х = 2, у = 3 – = , т.е. F (2; ).

Уравнение директрисы у = 3 + = 3 + , т.е. у = .

 

 

Пример 16. Найти уравнение касательной к параболе у 2 = 4 х, проведенной из

точки А (–2; –1).

 

Уравнение прямой ищем в виде y = kx + b. Т.к. точка А принадлежит искомой касательной, подставляя ее координаты в уравнение касательной, получим:

–1 = –2 k + b. Далее, эта прямая и парабола имеют единственную точку (касаются). Следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Решаем ее относительно х и у. Возведем правую и левую части первого уравнения в квадрат и подставим в левую часть полученного равенства вместо у 2 его выражение из второго уравнения. Получим k 2 x 2 + 2 kbх + b 2 = 4 x. Это – квадратное уравнение, имеющее единственное решение в случае, когда дискриминант равен нулю. Т.о., = (kb – 2)2k 2 b 2 = 0 или 4 kb =4, b = . Искомые значения параметров k и b находятся как решения системы , из которой получаем

–2 k 2 + k + 1 = 0 и k 1=1, k 2=– . Система имеет два решения: и . Следовательно, две прямые удовлетворяют условиям задачи: y = x + 1 и y = x –2.

 

 


Дата добавления: 2015-07-25; просмотров: 140 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Окружность| РАЗДЕЛ 1. ОРГАНИЗАЦИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ СЛУЖБЫ.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)