Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Нормализация. Нормальные параметрические уравнения имеют вид:

Читайте также:
  1. Нормализация
  2. Нормализация данных
  3. Нормализация молока
  4. Сепарирование и нормализация молока
  5. Термическая обработка стали как метод повышения прочностных и деформационных свойств стали: нормализация, отпуск, старение. Методы выплавки стали

Нормальные параметрические уравнения имеют вид:

. (П.13)

Коэффициенты нормальных уравнений представляют собой тройное произведение двух ранее введённых матриц:

Nkk = AnkT Knn-1Ank, (П.14)

а свободные члены равны произведению трёх матриц:

Gk1 = AnkT Knn-1Ln1. (П.15)

Выполнив умножение данных матриц с учётом (П.45) и (П.46), получим алгебраическую запись коэффициентов и свободных членов нормальных параметрических уравнений для случая некоррелированных измерений:

, (П.51)

(П.52)

Вектор неизвестных (МНК-поправок к параметрам), записанный в строку, имеет вид:

(П.53)

Теперь, выполнив умножение матрицы (П.51) на вектор неизвестных (П.53) и вычтя из произведения вектор свободных членов (П.52), получим алгебраическую запись системы параметрических НУ:

. (П.54)

4. Решение НУ

Решение параметрических НУ, предлагаемое в теоретической части изложения материала, осуществляется методом обращения матрицы коэффициентов Nk k системы параметрических НУ (П.13):

. (П.17)

Это возможно, если компоненты вектора Xk1 линейно независимы. Следствием такой независимости будет тот факт, что матрица коэффициентов Ank – это матрица полного столбцового ранга, т.е. rank(A) = k. В таком случае матрица коэффициентов параметрических НУ Nk rk = Ak nTK-1An k будет иметь такой же ранг, и её определитель не будет равен нулю, т.е. det(Nk k) ≠ 0. Это означает, что существует N-1 и решение системы (П.54) в форме (П.17).

В развёрнутом виде уравнения (П.17) можно записать, учитывая тот факт, что обратная матрица коэффициентов нормальных уравнений является ковариационной матрицей её корней, т.е. Nk k-1 = :

. (П.55)

Каждый диагональный элемент Kjj – это квадрат средней квадратической ошибки j-ой поправки к своему параметру.

Отдельно j-ая строка системы (П.55) выглядит следующим образом:

j = Kj 1* [pal] + … +Kj j*[pjl] + … + Kj k*[pkl]. (П.56)

Естественно, что параметрические НУ могут, как и коррелатные, быть решены любым другим способом.

МНК-поправки к параметрам вычисленные методом обращения или методом Гаусса, либо каким-то другим способом, должны быть проконтролированы. Такой контроль осуществляется путём подстановки найденных корней в исходную систему параметрических НУ (П.13):

Nkk* k1 = Gk1. (П.57)

5. МНК-оценивание

Найденные МНК-поправки к параметрам x k1, проконтролированные на 4ом этапе, позволяют вычислить МНК-поправки в измерения y n1:

= Ank * – Ln1. (П.10)

Более подробно система (П.10) записывается так:

. (П.58)

Получена параметрическая система уравнений поправок. Алгебраический эквивалент i-ой строки данной системы имеет вид:

. (П.59)

Вычисление МНК-поправок в измерения контролируется путём использования леммы Гаусса:

. (П.12)

Допустимые значения МНК- поправок.

В статистических свойствах векторов-оценивателей параметрической версии, установлено, что: E() = 0; а =K–AN-1AT. Из последнего факта следует, что , т.е. среднее квадратическое значение i-ой поправки – это диагональный элемент ковариационной матрицы МНК-поправок в измерения, находящийся на пересечении i-ой строки и i-ого столбца этой матрицы.

Установление допустимости поправки начинается с проверки нулевой гипотезы о равенстве нулю её МО:

H0 = {E() = 0} (П.60)

против альтернативной гипотезы

HA = {E() ≠ 0}. (П.61)

Нулевая гипотеза (П.60) проверяется с помощью теста

tЭ = | |/ , (П.62)

который сопоставляется на уровне значимости α с квантилью tT распределения Стьюдента, характеризующегося n – k степенями свободы:

tT = arg(FСт.(n-k)= (1–α/2)). (П.63)

Воспользовавшись неравенством альтернативной гипотезы (П.61), получаем такое выражение для допустимого значения МНК-поправки в i-ое измерение:

tЭ = | |/ = tT доп = tT* = tT* . (K.79)

Квантиль распределения Стьюдента может быть заменена квантилью нормального распределения на том же уровне значимости:

t0.05 = 1.96 ≈ 2; t0.01 = 2.58 ≈ 2.6; t0.003 = 3. (П.80)

Данный контроль позволяет нам локализовать измерения, содержащие «промахи» и может сыграть положительную роль в анализе качества измерений.


Дата добавления: 2015-07-19; просмотров: 48 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Поэтапная реализация параметрической версии| МНК-оптимизация (уравнивание)

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)