Семантические парадоксы, причины возникновения

Антиномии играли важную роль в установлении основоположений современных дедуктивных наук. И как теоретико-множественные антиномии, в частности антиномия Рассела (связанная с понятием множества всех множеств, несодержащих себя в качестве собственного элемента), послужили исходным пунктом успешного продвижения к непротиворечивой формализации логики и математики, так антиномия лжеца и другие семантические антиномии дают толчок к построению теоретической семантики. (Тарский.)

Парадокс лжеца.

Для того чтобы получить антиномию лжеца в ясной форме, рассмотрим следующее предложение:

«Предложение, напечатанное в этой статье на стр...., строка..., — неистинно».

Для краткости заменим это предложение буквой «s». В соответствии с нашим соглашением относительно адекватного употребления термина «истинно» мы утверждаем следующую эквивалентность вида Т:

(1) «s» истинно тогда и только тогда, когда предложение, напечатанное в этой статье на стр...., строка..., неистинно.

С другой стороны, помня о значении символа «s», мы эмпирически устанавливаем следующий факт:

(2) «s» тождественно предложению, напечатанному в этой статье на стр...., строка...».

Теперь, благодаря известному закону теории тождества (закон Лейбница), из (2) следует, что в эквивалентности (1) выражение «предложение, напечатанное в этой статье на стр...., строка...» мы можем заменить символом «s». Таким образом, мы получаем:

(3) «s» истинно тогда и только тогда, когда «s» неистинно.

Вот мы и пришли к очевидному противоречию.

Мы должны обнаружить причину антиномии лжеца, т. е. должны рассмотреть предпосылки, на которые опирается антиномия, и отвергнуть по крайней мере одну из них, а затем проанализировать следствия, к которым это приводит для всей области нашего исследования.

Анализируя предпосылки, приводящие к антиномии, мы замечаем следующее:

(I) Мы неявно допускаем, что язык, в котором построена эта антиномия, в дополнение к своим выражениям содержит также имена этих выражений и семантические термины, например, термин «истинно», относящийся к предложениям этого языка. Мы допускаем также, что все предложения, задающие адекватное употребление этого термина, могут быть сформулированы в нашем языке. Языки, обладающие такими свойствами, мы будем называть «семантически замкнутыми».

(II) Мы предполагаем, что в этом языке действуют обычные законы логики.

(III) Мы предполагаем, что в нашем языке можно формулировать и утверждать эмпирические посылки типа утверждения (2), входящего в наше рассуждение.

Оказывается, что предположение (III) не является существенным, так как можно построить антиномию лжеца без его помощи. Но предположения (I) и (II) существенны. И поскольку каждый язык, удовлетворяющий обоим этим предположениям, является противоречивым, мы должны отбросить по крайней мере одно из них.

Было бы излишним рассматривать здесь следствия отбрасывания предположения (II), т. е. следствия изменения нашей логики (если это вообще возможно) хотя бы в наиболее элементарных и фундаментальных ее частях. Поэтому мы рассмотрим только одну возможность — отказ от предположения (I). Мы принимаем решение не пользоваться языком, который семантически замкнут в указанном выше смысле. (Тарский.)

Парадокс Рассела.

Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие.

Противоречие в антиномии Рассела возникает из-за использования в рассуждении понятия множества всех множеств и представления о возможности неограниченного применения законов классической логики при работе с множествами.

Рассел: все парадоксы возникают из принципа порочного круга, из допущения непредикативных определений. Порочный круг возникает, т.к. принимается, что множество предметов может содержать элементы, которые могут быть определены только посредством ссылки на это множество как на единое целое (один из видов непредикативных определений).

Под непредикативным определением имеется в виду определение некоторого объекта посредством ссылки на множество, к которому этот объект сам принадлежит.

Парадокс Ришара.

Каждое выражение языка представляет собой множество конечно-членных последовательностей, состоящих из знаков алфавита.

Множество выражений языка счетно.

S1: А1, А2, А3… - множество выражений языка, оно бесконечно, но счетно.

S2: А1, А2, А3… - те из выражений языка, которые описывают одноместные арифметические функции.

S2 S1

S3: f1, f2, f3… - сами функции.

Никто нам не запрещает нумеровать сами функции в соответствии с теми выражениями языка, которые их репрезентируют.

Теперь я произношу слова: "Та самая функция, которая для любого натурального числа n принимает значение на 1 большее, чем функция, которая репрезентируется выражением языка за номером n". Эти слова описывают одноместную арифметическую функцию:

fq(q)=fq(q) + 1

Это семантический парадокс, потому что здесь мы идем от языка. Диагональная функция попадает в пересчет за счет языка.

Почему мы получаем парадокс?

1) Определение диагональной функции является непредикативным. (Вспомним Рассела: m определяется ссылкой на M, но принадлежит к M.) Диагональная функция определяется ссылкой (номер q в пересчете) на совокупность, к которой она принадлежит, будучи одноместной арифметической функцией.

Если отказаться от непредикативных определений, то парадокса не будет. Но сделав это, мы откажемся и от доказательства Кантора.

2) Пагубная самоприменимость. В данных условиях самоприменимость приводит к парадоксу.

Понятие семантически замкнутого языка

Язык семантически замкнут, если он наряду с предложениями этого языка, относящимися к элементам универсума рассмотрения, содержит имена этих предложений и семантические понятия, относящиеся к выражениям этого языка.

Дата добавления: 2015-07-16