Читайте также:
|
Метод итерации для нелинейной системы уравнений
Пусть требуется найти действительные решения системы двух уравнений с заданной точностью
.
Для этого перепишем исходную систему в приведенном (итерационном) виде: 
. Пусть 
и 
– начальные приближения корней, полученные графическим или каким-либо другим способом. Подставив эти значения в правые части приведенной системы уравнений, можно получить
Аналогично можно получить второе приближение 
В общем случае 
Если функции 
и 
непрерывны и последовательности 
и 
сходятся, то пределы их дают решение приведенной, следовательно, и исходной системы.
Сходимость метода
Теорема. Пусть в некоторой замкнутой окрестности 
имеется одно и только одно решение 
и 
приведенной системы.
Тогда если:
1) функции и определены и непрерывно дифференцируемы в 
;
2) начальные приближения , и все последующие приближения 
, 
принадлежат ;
3) в выполнены неравенства 
или
неравенства 
, то процесс последовательных приближений сходится к решению , .
Оценка погрешности 
-го приближения определяется неравенством:
,
где 
– наибольшее из чисел 
и 
, входящих в эти неравенства.
Сходимость метода считается хорошей, если 
; при этом 
. Поэтому если в двух последовательных приближениях совпадают, например, три десятичных знака после запятой, то ошибка последнего приближения не превосходит 0,001.
Дата добавления: 2015-12-01; просмотров: 39 | Нарушение авторских прав