Частотный критерий устойчивости Михайлова.

Пусть дано характеристическое уравнение

. (2)

Представим полином в виде

,(3)

где - корни уравнения. Положим , а разность комплексных чисел запишем в геометрическом виде (рисунок 1):

,(4)

тогда

.(5)

Найдём - угол поворота или, что тоже самое, изменение аргумента комплексного числа при изменении ω от -∞ до ∞. Положительное направление отсчёта угла считаем против часовой стрелки. Как видно из рисунка 1, если корень лежит в левой полуплоскости, то

, (6)

а если в правой (), то

.(7)

Ясно, что если уравнение =0 имеет l корней в правой полуплоскости и соответственно n-l корней в левой полуплоскости, то

.(8)

Рисунок 1

Теорема. Для устойчивости системы автоматического управления, имеющей характеристическое уравнение (2), необходимо и достаточно, чтобы

.(9)

Доказательство. Так как необходимым условием устойчивости САУ является расположение всех корней уравнения =0 в левой полуплоскости, то l должно равняться нулю, откуда и получаем условие (9).

Построим геометрическое место точек конца вектора на комплексной плоскости (годограф Михайлова). Замечая, что при действительных (j =0, 1, …, n) есть чётная функция частоты, а - нечётная функция частоты, т.е.

,

,(10)

можно ограничится половинным диапазоном изменения , так как годограф Михайлова будет симметричен относительно вещественной оси (так называемая зеркальная симметрия). При изменении ω в пределах [0, ∞) условие (9) переходит в условие

.(11)

Таким образом, сформулируем следующую теорему.

Теорема (критерий Михайлова). Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начинаясь при ω =0 на действительной оси, с увеличением ω от 0 до ∞ обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов, где n – порядок характеристического уравнения.

На рисунке 2, а приведены годографы Михайлова для устойчивых систем при различных значениях n. Пунктиром показана часть годографа при изменении ω от -∞ до 0 для n =5. На рисунке 2, б – те же годографы для неустойчивых САУ.

Рисунок 2

Дата добавления: 2015-11-30