Читайте также: |
|
Из примеров таблиц 6.1 и 6.2 мы видим, что в конических проекциях по мере удаления от параллели касания или сечения к югу и к северу масштаб по параллели непрерывно увеличивается.
Чтобы сделать масштаб одинаковым вокруг каждой точки, т.е. обеспечить на карте и глобусе подобие бесконечно малых фигур, а, следовательно, и равенства углов, следует видоизменить равнопромежуточную проекцию так, чтобы по мере увеличения масштаба вдоль параллелей соответственно увеличивался масштаб по меридианам.
Впервые теорию равноугольных конических проекций разработал в 1772г. Л. Ламберт.
Равноугольная коническая проекция Ламберта по отношению к равнопромежуточной конической проекции представляет то же самое, что равноугольная цилиндрическая проекция Г. Меркатора (см. 5.4) по сравнению с простой цилиндрической проекцией Генриха Мореплавателя (см. 5.2)
Для достижения равноугольности проекции необходимо и достаточно обеспечить равенство увеличений вдоль параллели и меридиана, т.е. .
На основании (6.2) и (6.5) для эллипсоида можем записать
(6.26)
Знак минус для взят потому, что с увеличением широты радиус на карте убывает.
Из выражения (6.26) найдём радиус как явную функцию широты как это следует из общего уравнения (4.8). Для этого представим (6.26) в виде
.
Подставим вместо и их значения из (2.4) и (2.5). В результате получим
.
Интегрируя левую и правую части, получим
(6.27)
где - постоянная интегрирования.
Для упрощения подынтегрального выражения умножим в числителе на величину . Тогда выражение (6.27) примет вид
. (6.28)
Введем обозначения
тогда
,
.
С учетом этих обозначений можем записать
.
Известно [ ]
.
Следовательно, имея также в виду, что логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя, можем записать
(6.29)
Введем обозначения
. (6.30)
Подставляя (6.30) в (6.29), получим
и следовательно
. (6.31)
Раскроем геометрический смысл постоянной интегрирования К. Для этого примем . Соответственно также будет равна нулю. Подставляя эти значения в (6.29), найдём
,
откуда на основании (6.31) можем найти радиус экватора
.
На полюсе и . Следовательно, полюс в этой проекции изобразится точкой в отличие от равнопромежуточной проекции, где полюс изображается полярной линией.
На основании (6.6) радиус параллели наименьшего масштаба равен
а коэффициент пропорциональности, исходя из (6.15) равен
.
Рассмотрим расчет равноугольной конической проекции для карты Украины в масштабе 1:1000000, приняв широту параллели касания .
Предварительно определяем и
.
На основании (6.6) и (б.30) можем записать
,
откуда имея в виду, что на параллели касания , имеем
.
Определим
,
,
.
Все остальные данные приведены в таблице 6.3.
Таблица 6.3
Широта | |||
44° | 619.86 | 1.0024 | 1,0048 |
45° | 608.73 | 1.0013 | 1,0026 |
46° | 597.60 | 1,0006 | 1,0012 |
47° | 586.48 | 1,0001 | 1,0003 |
48° | 575.36 | 1,0000 | 1,0000 |
49° | 564.24 | 1,0001 | 1,0003 |
50° | 553.12 | 1,0006 | 1,0012 |
51° | 541.98 | 1,0014 | 1,0028 |
52° | 530.83 | 1,0025 | 1,0050 |
Как и в случае равнопромежуточных проекций, задавая применительно к расположению конкретной картографируемой территории широту параллели касания , можем получить множество равноугольных проекций.
Из таблицы 6.3 следует, что за равноугольность проекции придётся расплачиваться искажениями расстояний по меридиану и большими искажениями площадей до 50 м2/га.
Рассмотрим теперь равноугольную проекцию на секущем конусе.
Для параллелей сечения . На основании (6.26), принимая во внимание (6.31) и (6.23), можем записать
. (6.32)
Сократив это выражение на будем иметь
Прологарифмируем это равенство. В результате получим
. (6.33)
Подстановкой в (6.32) найдем с контролем
. (6.34)
Величины определятся из выражения (6.30)
Широту параллелей сечения можно вычислить по формуле (6.20) с последующим округлением до целого градуса.
Используя полученные формулы рассчитаем проекцию для карты Украины в масштабе 1:1000000.
По формуле (6.20) находим .
Из (6.33) получим , а из (6.30) .
По формуле (6.34) находим .
Все остальные данные приведены в таблице 6.4.
Таблица 6.4
44° | 618,737 | 1,0010 | 1,0020 |
45° | 607,620 | 1,0000 | 1,0000 |
46° | 596,510 | 0,9992 | 0,9984 |
47° | 585,405 | 0,9988 | 0,9976 |
48° | 574,301 | 0,9986 | 0,9972 |
49° | 563,196 | 0,9988 | 0,9976 |
50° | 552,086 | 0,9992 | 0,9984 |
51° | 540,967 | 1,0000 | 1,0000 |
52° | 529,835 | 1,0011 | 1,0022 |
Сравнивая параметры, приведённые в таблицах 6.3 и 6.4, приходим к выводу, что замена касательного конуса секущим уменьшает искажения длин и площадей в 1,7 раз.
Если заменить эллипсоид шаром, формулы для расчёта проекции упрощаются. Так как то и выражение (6.30) принимает вид
Соответственно
.
Все остальные формулы можно применить, заменив и на .
Дата добавления: 2015-12-01; просмотров: 50 | Нарушение авторских прав