Основные теоретические сведения

Саратовский государственный технический университет

Исследование упругого растяжения стальной проволоки

(Закон Гука)

Методические указания

к лабораторной работе по курсу физики

для студентов всех специальностей.

Электронное издание локального распространения

Одобрено Редакционно-издательским советом Саратовского государственного

технического университета

Саратов 2006

Все права на размножение и распространение в любой форме остаются за разработчиком.

Нелегальное копирование и использование данного продукта запрещено.

Составитель - Колотырин Александр Алексеевич.

Под редакцией - Зюрюкина Юрия Анатольевича.

Рецензент - Никишин Евгений Леонардович

410054, Саратов, ул. Политехническая 77,

Научно-техническая библиотека СГТУ,

тел. 52-63-81, 52-56-01

http: // lib.sstu.ru

Регистрационный

номер 060552Э

© Саратовский государственный

технический университет 2006 г.

Цель работы: исследование малого упругого продольного растяжения стальной проволоки и определение модуля Юнга стали.

Основные теоретические сведения

Все реальные тела под действием приложенных сил меняют свою форму или объём. Такие изменения называются деформациями. Для твёрдых тел выделяют два предельных случая: а) упругие деформации; б) пластические деформации. Упругими называют такие деформации, которые исчезают после прекращения действия приложенных сил. Пластическими деформациями называют такие деформации, которые частично остаются в теле после прекращения действия внешних сил. Если сила F, отнесённая к площади S, что именуется механическим напряжением (или просто напряжением) σ = , не превосходит некоторой величины, называемой пределом упругости, то возникающая деформация будет упругой. В противном случае деформация окажется пластической. Пределы упругости могут сильно отличаться в зависимости от материала.

Различают следующие типы деформаций: растяжение, сжатие, сдвиг, кручение, изгиб. Мы здесь будем иметь дело с деформациями растяжения и сжатия образца например в форме тонкого стержня, которые также называются продольными. Количественно продольные деформации описываются относительным удлинением ε = Δl/l, где l – невозмущенная длина стержня, Δl – его абсолютное удлинение (оно может быть как положительной, так и отрицательной величинами).

Описать физическую картину продольных растяжений помогает диаграмма растяжений, на которой отражена зависимость σ(σ ε) (Рис.1). Из рисунка видно, что линейная зависимость σ(ε), установленная Гуком (1635-1703), выполняется лишь в очень узких пределах до так называемого предела пропорциональности σ_п.. При дальнейшем увеличении напряжения деформация ещё упругая (хотя зависимость σ(ε) уже не линейная), и до предела упругости σ_у остаточные деформации не возникают. За пределом упругости в теле возникают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекращения действия силы, изобразится не кривой ВО, а параллельной ей – CF. Напряжение, при котором появляется заметная остаточная деформация (~ 0,2 %), называется пределом текучести σ_т (точка С на кривой). В области СD деформация возрастает без заметного увеличения напряжения, то есть тело как бы течёт. Эта область называется областью текучести. Материалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими, для которых же она практически отсутствует – хрупкими. При дальнейшем растяжении (за точку D) происходит разрушение тела. Максимальное напряжение, возникающее в теле до разрушения, называется пределом прочности σ_пр. В рамках данной работы исследование деформаций твёрдых тел ограничено изучением только малых продольных растяжений, при которых выполняется закон Гука. Согласно этому закону деформации пропорциональны силам, их вызывающим.

рис.1.

Предположим, что к торцам однородного стержня приложены растягивающие или сжимающие силы F (Рис.2). Стержень окажется деформированным, то есть сжатым или растянутым. Мысленно проведём произвольное сечение С, перпендикулярное к оси стержня. Для равновесия стержня АС необходимо, чтобы на его нижнее основание С действовала сила . Это сила, с которой нижняя часть стержня действует на верхнюю. Эта сила возникает вследствие деформации стержня. Верхняя часть стержня также деформирована и действует на нижнюю с силой равной и противоположно направленной. Аналогичным образом можно описать силы в любом поперечном сечении растянутого или сжатого стержня. Силу, отнесённую к единице площади поперечного сечения стержня, называют напряжением σ: σ = . Упрощенная запись закона Гука, известная из курса физики средней школы, F=kΔl с использованием коэффициента жёсткости k, не совсем удобна, поскольку этот коэффициент зависит не только от свойств материала, но и от размеров и формы упругого тела. Последнее обстоятельство исключает поиск коэффициента жёсткости в справочной литературе и затрудняет его использование. К тому же следует отметить нарушение причинно-следственной связи, поскольку причиной удлинения стержня Δl является внешняя сила F, приложенная к стержню.

F  

F₁

C

B

F

F₁

F

B

B

C

A

F  

A

F

а в

рис.2

Поэтому более удобной записью закона Гука является такая запись, в которой при малых упругих деформациях относительное удлинение ε = оказывается пропорциональным напряжению σ. Коэффициентом пропорциональности является величина обратная постоянной Е, называемой модулем Юнга (1773- 1829)

ε = =

Модуль Юнга определяется физическими свойствами материала детали и его легко можно найти в справочной литературе. Обычно модуль Юнга определяют как напряжение σ, которое надо приложить к стержню, чтобы его длина удвоилась. Безусловно надо думать, что эта ситуация не всегда реальна, так как при таких больших деформациях закон Гука почти для всех тел становится недействительным: тело либо разрушается, либо нарушается пропорциональность между деформацией и приложенным напряжением.

Следует отметить, что закон Гука является приближённым. Закон Гука и основанные на нём расчёты верны с относительной ошибкой порядка относительного удлинения. Более общим, чем закон Гука, является утверждение, что в случае упругих деформаций напряжение является однозначной функцией относительного удлинения σ = σ (ε). При этом однако следует помнить, что причиной удлинения и напряжения, возникающего в стержне, является внешняя сила. Эта функция должна обращаться в нуль при ε = 0, так как с исчезновением деформации исчезает и напряжение σ. Поэтому в разложении функции σ (ε) в ряд по степеням ε должен отсутствовать нулевой член, и разложение должно иметь вид

σ =Е* ε + А* ε²+ B*ε³…,

причём коэффициенты Е, А, В … являются постоянными, зависящими только от материала стержня и его физического состояния. Если относительное удлинение ε мало, то высшими степенями ε можно пренебречь. Такими образом закон Гука и основанные на нём расчёты верны с относительной ошибкой порядка ε. Отметим, что относительное удлинение можно определить выражением (Δl)/l поскольку

Свойства материалов при деформациях, вообще говоря, изменяются. Однако при малых деформациях изменениями упругих постоянных можно пренебречь. Отсюда вытекает принцип суперпозиции малых деформаций: если на тело действует несколько сил, то для вычисления результирующей деформации можно вычислить сначала деформации, вызываемые каждой силой в отдельности, а затем полученные деформации сложить.

Опыт показывает, что под действием растягивающей или сжимающей силы F изменяются не только продольные, но и поперечные размеры стержня. Пусть а₀ - толщина стержня до деформации, а – после деформации. За толщину стержня можно принять для круглого стержня его диаметр, для прямоугольного - одну из сторон его прямоугольного основания. Если сила F растягивающая, то величина - называется относительным поперечным сжатием стержня (). Отношение относительного поперечного сжатия к соответствующему относительному продольному удлинению называется коэффициентом Пуассона (1781—1840):

Коэффициент Пуассона зависит только от материала тела и является одной из важных постоянных, характеризующих его упругие свойства. Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона μ полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все прочие упругие постоянные могут быть выражены через Е и μ.

Дата добавления: 2015-11-30