Метод Эйлера-Коши

Проведем в точке касательную I к функции x(t). Она пройдет под углом a.

Пересечение касательной I с вертикалью t_i+1 назовем промежуточной точкой x_i*.

Если предположить, что функция x(t) проходит черезпромежуточную точку (x_i*,t_i+1), то в ней также можно построить касательную II к функции x(t). Касательная II пройдет под углом b.

Проведем через точку (x_i*,t_i+1) прямую III под углом g так, чтобы выполнялось равенство:

.

Через точку (x_i,t_i) проведем прямую IV параллельно прямой III. Она тоже пройдет под углом g.

Точка пересечения прямой IV с вертикалью t_i+1 представляет собой следующую искомую точку (x_i+1,t_i+1) функции x(t).

Рис. 3. Иллюстрация к методу Эйлера-Коши

Осуществим вывод формулы для расчета функции x(t).

Согласно рис. 3:

,

где x_i, x_i+1 – текущая и последующая точки функции x(t) соответственно;

Δx – приращение функции x(t) на интервале Δt.

Величину Δx найдем из прямоугольного треугольника с углом g:

.

При малых отклонениях углов a и b можно воспользоваться формулой:

.

Согласно геометрическому смыслу первой производной функции:

,

.

Согласно рис. 3:

,

Величину Δx* найдем из прямоугольного треугольника с углом a:

.

Подставив все полученные значения в исходную формулу, получим:

.

Пример:

Для уравнения запишем формулу расчета функции x(t) согласно методу Эйлера-Коши

.

Дата добавления: 2015-11-14