Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Оцінки точності в системах моніторингу.

Класифікація систем моніторингу в економіці. | Види моніторингу | Принципи побудови систем моніторингу. | Структура систем моніторингу. | Алгоритм роботи систем моніторингу. | Технологія побудови систем моніторингу. | Дискретність спостережень у системі моніторингу. | Сутність, причини і види економічного ризику об’єктів моніторингу. | Оцінювання ризику в системах моніторингу. | Методи прогнозування змін вимірюваних величин. |


Читайте также:
  1. Internet/Intranet-технологии в корпоративных информа­ционных системах.
  2. Алгоритм роботи систем моніторингу.
  3. Алгоритми розрахунку основних параметрів системи моніторингу.
  4. Блок 1: Робота з «передумовами» в процесі оцінки
  5. Види виборчих бюлетенів у виборчих системах
  6. Визначення об’єктів моніторингу.
  7. Декларацiя про державний суверенітет України та Акт проголошення незалежності України, їх основні положення та сучасні оцінки.

У самому загальному випадку вимірювання — це порівняння вимірюваної величини з побудованою в той чи інший спосіб шкалою можливих значень цієї величини; результат вимірювання ніколи не може являти собою точне значення вимірюваної величини, а є лише вказівкою на вузький інтервал її можливих значень. Вимірювання — процес, що полягає у порівнянні вимірюваної величини з деяким її значенням, прийнятим за норматив. У даному контексті терміном “вимірювання” позначається будь який спосіб знаходження значення ВВ, отриманого від джерела інформації. Джерелом інформації можуть бути: дані, отримані від експерта; дані, передані по каналах зв'язку; результати розрахунків показника; дані отримані з бази даних, тощо.

Вимірювана величина завжди визначається з деякою помилкою (похибкою). Ця помилка може бути інструментальною — при вимірі, виникати при реєстрації або перезапису даних, при передаванні по каналах за наявності перешкод. Так, при повідомленні про результати виконання виробничої програми в одиницях виробів, здавалося б, помилки не може бути. Але результати можуть бути отримані в деякому інтервалі часу, через що й можлива помилка.

Система моніторингу, видаючи інформацію про систему ВВ, використовує деякі джерела одержання цієї інформації, яка може бути опрацьована з різним ступенем складності. Вхідна відносно СМ інформація може формуватися або утворюватися в різні способи, а джерелами її можуть слугувати: система звітності організації, дані, одержувані від інших систем по каналах зв’язку, результати вимірювання спостережуваних величин і характеристик об’єктів, повідомлення про явища природи, ринкова інформація тощо. Але я кою б конкретно не була вхідна інформація, вона відображає фактично існуючі явища, реальні закономірності та факти. В основі отримання всіх цих характеристик лежать дослідні дані, експериментальні дані, фіксація реальних явищ, дані, отримувані у вигляді повідомлень або в результаті вимірів.

Результати вимірів і повідомлень у реальній дійсності мають імовірнісну природу і залежно від форми подання даних (неперервна або дискретна) визначаються законом розподілу ВВ, імовірністю достовірності даного повідомлення або іншими статистичними характеристиками. На практиці вхідна інформація ба­зується на статистичному матеріалі обмеженого обсягу (два-три десятки спостережень). Така обмеженість звичайно пов’язана з дорожнечею і складністю кожного вимірювання. Цього матеріалу часто буває недостатньо для визначення закону розподілу випадкової величини, проте існуючі дані можуть бути оброблені та використані для одержання деяких відомостей про ВВ. У таких випадках можна говорити про одержувану оцінку ВВ. Якщо ця оцінка виражається одним числом, то вона називається точковою. Щоб охарактеризувати точність і надійність точкової оцінки ВВ, у математичній статистиці користуються так званими довірчими інтервалами і довірчими ймовірностями.

Визначимо довірчий інтервал і довірчу ймовірність.

Нехай для значення ВВ отримана точкова оцінка a. Якщо позначити через e можливу помилку точкової оцінки і вважати, що з імовірністю b ця помилка не перевищить ½e½, то:

є довірчим інтервалом, а значення b

називають довірчою ймовірністю визначення істинного значення ВВ, рівного ā.

Значення та називають довірчими межами.

Довжина довірчого інтервалу дорівнює 2e. Для визначення чисельних значень довжини довірчого інтервалу і довірчої ймовірності потрібно знати (або мати гіпотезу) функцію розподілу значення ВВ. Нехай ВВ розподілена за нормальним законом з функцією розподілу F (х):

(4)

і ми хочемо визначити математичне сподівання ВВ із довірчою ймовірністю b.

За формулою визначення ймовірності випадкових величин, розподілених за нормальним законом влучення на ділянку, симетричну щодо центру розсіяння m, знаходимо:

,

де — середнє квадратичне відхилення.

З рівняння знаходимо значення e:

, (5)

де arg Ф (х) — функція, обернена до Ф (х), тобто таке значення аргументу, при якому нормальна функція розподілу дорівнює Ф (х).

З формули 5 випливає, що між значеннями 2e і b існує функціональна залежність і, задавши e, ми можемо визначити b і навпаки. У цілому ряді додатків важливо визначити оптимальне співвідношення між e і b. Скористаємося теоретико-інформацій­ним критерієм I при визначенні цього співвідношення і обчислимо:

, (6)

де Н 1 і Н 2 апріорна та апостеріорна ентропія визначення значення ВВ з урахуванням прийнятого співвідношення.

Величина Н 1 не залежить від співвідношення між e і b, а Н 2 визначається відповідно за формулою:

, (7)

де Н b і Н 1-b — умовні ентропії при прийнятті гіпотез про влучення та невлучення ВВ у довірчий інтервал;

, (8)

де: f (х) щільність розподілу ВВ при влученні її у довірчий інтервал;

D — «ділянка нечутливості».

При застосуванні методу довірчих інтервалів у випадку невлучення ВВ у довірчий інтервал (з імовірністю 1 – b) ми використовуємо лише інформацію про те, що ВВ не належить довірчому інтервалу, що зменшує апріорну ентропію Н 1 на величину Н b. Отже:

; (9)

з огляду на (6) — (3.7), одержуємо

. (10)

Для обчислення Н b необхідно з’ясувати закон розподілу f (x) ВВ. Вважаючи закон розподілу усіченим нормальним і використовуючи метод довірчих інтервалів, одержуємо вираз для усіченого нормального закону:

Підставляючи значення f (x) у 3.8, отримаємо:

, (11)

де F -1(b) — обернена функція Лапласа.

У табл. 1 наведено значення інтеграла, що входить у вираз 11.

Таблиця 1

Значення інтеграла у виразі 11

Z 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
0,001 0,0022 0,0082 0,019 0,0356 0,0579 0,088 0,1176
Z 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
0,1526 0,1891 0,225 0,2509 0,2936 0,323 0,3188 0,3704
Z 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
0,3883 0,4027 0,4139 0,4224 0,4287 0,4332 0,4365 0,4387
Z 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0  
0,4402 0,4411 0,4418 0,4422 0,4424 0,4426  
                             

 

Для обчислення значення Н 1 зручно навести у вигляді:

.

Ентропію Н 1 та Н b зв’язує вираз 9, але Н b < Н 1, оскільки всі обчислення спрямовані на зменшення невизначеності значення ВВ.

З урахуванням виразів (10) — (12) одержуємо значення критерію I:

. (12)

При цьому значенні e і b пов’язані між собою виразом (5).

У практичному діапазоні значень , оптималь­не значення довірчої ймовірності має високе значення b opt = 0,96 ¸ 0,98. Тому інформативнішими є дані про значення ВВ, що обчислюються з високою довірчою ймовірністю. Значення довірчого інтервалу визначається при цьому відповідно до (5).

У реальних додатках до СМ завжди висуваються вимоги щодо точності визначення значення ВВ. Найчастіше в результаті вимірів визначається ряд значень х 1, х 2,…, хn ВВ, після обробки якого може бути визначений ряд характеристик ВВ (ми припускаємо, що вона розподілена за нормальним законом).

Нехай в результаті обробки ряду значень х 1, х 2,….., хn визначено щільність закону розподілу ВВ:

. (13)

При цьому виявилося, що s1 > sзад або а 1 ¹ а зад, де а зад і
sзад — задані значення щільності розподілу ВВ, що висуваються до СМ.

У цьому випадку для виконання вимог необхідно провести додаткову серію вимірів значень ВВ. Нехай у результаті проведення додаткової серії вимірів отримана щільність розподілу

. (14)

Аналогічно можна трактувати два виміри однієї й тієї ж ВВ, виконані різними засобами.

Задача полягає у визначенні результуючого закону розподілу ВВ. Результати вимірів — розподіли f 1(x) і f 2(x) — будемо називати першою і другою вибіркою відповідно. За наявності тільки першої вибірки природно думати, що вона являє собою випадкову величину з апріорною щільністю розподілу j1(х) при a = 0. Тоді:

.

За цієї умови розподіл другої вибірки j2(х) матиме вигляд:

,

де са 2а 1½, а початок координат відповідає умові одержання першої вибірки.

Скористаємося формулою Байєса і одержимо:

. (15)

Підставляючи у формулу (15) значення j1(х) і j2(х), після перетворення одержимо:

. (16)

Як бачимо, отриманий вираз описує нормальний закон розподілу з параметрами:

; . (17)

Оскільки обидві вибірки відносяться до однієї й тієї ж ВВ, то, за рівності в них числа вимірів n, варто очікувати s1 = s2, при цьому:

. (18)

З формули (18) випливає, що шляхом використання додаткової вибірки можна збільшити результатну точність вимірювання, причому не обов’язково вирівнювати потужності множин вимірів в обох вибірках. Навіть якщо в другій вибірці використано меншу кількість вимірів, ніж у перший, і s1 > s2, усе одно, відповідно до, s0 < min[s1, s2] і результат додаткової вибірки підвищить результатну точність визначення значення ВВ.

Будь-які відомості про значення ВВ утворюються в результаті її вимірювання. Головною ознакою вимірювання є одержання інформації про кількісне значення ВВ, проте форма подання результату виміру не може визначатися безвідносно до того, для чого необхідний результат цього виміру.

Результат виміру має обмежуватися деяким полем допуску ± D, в який вкладаються похибки вимірювання. Припущення про існування такої граничної похибки, яка не може бути перевищена, є неприйнятним, оскільки значення «максимальної спостережуваної похибки» є випадковою величиною, яка монотонно зростає зі збільшенням числа вимірів.

Найповнішою характеристикою опису похибки визначення ВВ є завдання розподілу ймовірності розміру похибки. При цьому використовується завдання щільності розподілу ймовірностей помилок (Н *). Ці величини визначаються законом розподілу помилки. Найчастіше використовуються рівномірний і нормальний закони розподілу. Розглянемо ці випадки.


Дата добавления: 2015-11-14; просмотров: 68 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Критерії оцінки якості функціонування системи моніторингу.| Нормальний закон розподілу.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)