Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Расчет электростатических полей в цилиндрической системе координат методом разделения переменных

Расчет траекторий заряженных частиц с использованием уравнений движения в форме Лагранжа | Расчет траекторий заряженных частиц численными методами | Методы аппроксимации базисными функциями | Задание по работе | Моделирование систем формирования магнитного поля численным методом | Расчет магнитостатического поля соленоида | Порядок выполнения работы | Характеристики ферромагнитных материалов и особенности их учета в магнитостатических задачах | Аналитическое решение задачи экранирования магнитного поля внутри полого шара | Итерационный метод решения полевых задач магнитостатики для неоднородных сред с нелинейными характеристиками |


Читайте также:
  1. joule [ʤu:l] Единица измерения работы, энергии и количества теплоты в Международной системе мер. J | дж | Дж
  2. V. Порядок перерасчета размера пенсии
  3. VI. Порядок расчета и внесения платы за коммунальные услуги
  4. VI. Расчет приходящегося на каждое жилое и нежилое
  5. А) Поле или совокупность полей родительской таблицы, не являющихся первичным ключом и соответствующих первичному ключу дочерней таблицы.
  6. Автоматическая модель расчета движения денежных средств инвестиционного проекта и критериев его экономической эффективности
  7. Адм. Юст. как отрасль прайа, отрасль законодательства, наука, учебная дисциплина. Место права административной юстиции в системе российского права.

Для электростатических полей, имеющих осевую симметрию, решение уравнения Лапласа может быть представлено в виде

, (1.8)
где параметры k, Ak, Bk, Ck и Dkопределяются из граничных условий задачи.

В качестве примера решения задачи электростатики в цилиндрической системе координат можно рассчитать форму крышки для цилиндрического стакана (рис. 1.4), которая позволяет определять потенциал при помощи всего одного частного решения уравнения Лапласа, соответствующего какому-то выбранному значению k. При этом стенки и дно цилиндрического стакана находятся под нулевым потенциалом, а крышка изолирована от самого стакана и имеет потенциал U0. Радиус стакана и радиус крышки равны одному и тому же значению r0. Ось симметрии стакана направлена вдоль оси z. Ближайшая к дну стакана точка крышки расположена на оси симметрии на расстоянии z0 от дна.

Согласно условию задачи граничные условия выглядят следующим образом: 1) U = 0 при z = 0; 2) U = 0 при r = r0; 3) U ограничена на оси (при r = 0); 4) U = U0 при z = z0, r = 0.

Поскольку и функция Неймана при r ® 0 и гиперболический косинус при
z ® 0 неограниченны, то для выполнения первого и третьего условий коэффициенты Akи Dk в (1.8) должны равняться нулю. В результате, частное решение, которое требуется исследовать в данной задаче, приводится к виду

. (1.9)

Для выполнения второго граничного условия необходимо, чтобы произведение kmr0 совпадало с каким-либо корнем функции Бесселя нулевого порядка, т. е. kmr0 = x0m, где x0m – m-й корень функции J0(x).

Используя четвертое граничное условие и тот факт, что при r ® 0 функции Бесселя нулевого порядкаJ0(x) = 1, можно определить значение постоянной Um:

.

Форма любой эквипотенциальной поверхности может быть рассчитана, если исходное уравнение преобразовать к виду

.

Для определения формы второго электрода в качестве constнеобходимо взять U0 и тогда

.

Подставляя в приведенное уравнение различные значения r, будем получать соответствующие значенияz.

В последней задаче данной работы надо найти распределение потенциала в круглом заземленном цилиндре, закрытом плоской крышкой, которая изолирована от самого цилиндра и имеет потенциал U0
(рис. 1.5). Высота цилиндра равна z0, а радиус – r0.

По сравнению с предыдущей задачей четвертое граничное условие заменяется на U(z0, r) = U0.

Подобные условия на границе не могут быть выполнены с помощью одной какой-либо функции вида (1.9). Однако и в этом случае удается представить решения как сумму частных решений вида

, (1.10)
где km = x0m/r0.

Данный метод решения основан на ортогональности функций Бесселя и позволяет представить любую кусочно-гладкую функцию на интервале от 0 до a в виде ряда Фурье–Бесселя

, (1.11)
где коэффициенты Am для случая, рассматриваемого в задаче, определяются по известной из теории этих рядов формуле

.

Используя правила дифференцирования и интегрирования функций Бесселя, получим

.

Поскольку ряды (1.10) и (1.11) должны описывать по нашему замыслу одну и ту же функцию, коэффициенты у подобных членов обоих рядов должны быть равными между собой. Отсюда получаем выражение для определения Um:

,
откуда уже следует окончательная формула

,
которая после подстановки в (1.10) позволяет записать решение в виде

.


Дата добавления: 2015-11-13; просмотров: 50 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Расчет электростатических полей в декартовой системе координат методом разделения переменных| Расчет траекторий заряженных частиц с использованием уравнений движения в форме Ньютона

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)