Системы линейных уравнений

Казахская Головная Архитектурно-Строительная Академия

Активный раздаточный материал

Математика 1 ФОЕНП

Кредит 3

Лекция №2. Обратная матрица. Система линейных уравнений. 1-й семестр

К.т.н., ассоц. профессора Сыдыкова Дамелькан Какеновна 2012-2013 уч. г

Краткое содержание лекции

Обратная матрица

Для каждого числа а≠0, существует обратное число а^-1 такое, что произведение а а^-1=1. Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

Определение: Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножение этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

А^-1 А = А А^-1 =Е

Если определитель матрицы отличен от нуля (| А | ≠ 0), то такая квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (| А | = 0) – вырожденной или особенной.

Теорема: (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы) Обратная матрица А^-1 существует (и единственная) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:

1. 2. (А^-1 ) ^-1 = А 3. (А^m ) ^-1 = (А^m ) ^-1 4. (АВ) ^-1 =В^-1 А^-1 5. (А^-1 )¹ = (А¹ ) ^-1

Ранг матрицы

Рангом матрицы А, называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Из определения следует:

а) ранг матрицы А(mxn) не превосходит меньшего из его размеров, т.е. r (A)≤ min (m; n);

б) r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т. е. A =0;

в) для квадратной матрицы n-го порядка r (A)= n тогда и только тогда, когда матрица А- невырожденная.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Элементарными преобразованиями называются следующие действия:

а) отбрасывание нулевой строки (столбца);

б) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число не равное нулю;

в) изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

г) прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

д) транспонирование матрицы.

Системы линейных уравнений

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если оно имеет более одного решения.

Запишем систему в матричной форме. Обозначим:

На основании определения умножения и равенства матриц систему можно записать в виде: АХ = В

Система m линейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю, т.е. в уравнении B=0, AX=0.

Дата добавления: 2015-11-14