Кривые и поверхности второго порядка. 4 страница

Ортогональные разложения. Объем многомерного параллелепипеда. | Кривые и поверхности второго порядка. 1 страница | Кривые и поверхности второго порядка. 2 страница |

Читайте также:

3. В базисе найдите матрицу оператора отражения трёхмерного пространства в подпространстве параллельно .

4. Найдите все значения параметра , при которых квадратичная форма является положительно определённой.

Задание 41.

1. Найдите линейную оболочку системы многочленов .

2. Определите взаимное расположение двух прямых и в .

3. Выясните, подобны ли матрицы и . Если и подобны, найдите матрицу подобия. Однозначно ли определена матрица подобия? .

4. – ортонормированный базис. В базисе оператор имеет матрицу . Найдите матрицу сопряжённого оператора в базисе . Найдите матрицу оператора в базисе .

Задание 42.

1. Докажите, что для любого подпространства линейного пространства найдется дополнительное подпространство, т.е. такое подпространство , что . Единственным ли образом определено дополнительное подпространство для данного ?

2. Совместна ли система уравнений? Если система уравнений совместна, то найдите какое-либо её частное решение; найдите общее решение.

3. ; . Найдите матрицу оператора .

4. Найдите уравнение такой хорды гиперболы , которая точкой делится пополам.

Задание 43.

1. Проверьте, является ли система векторов-строк линейно зависимой или линейно независимой. Найдите линейно независимую подсистему векторов-строк, состоящую из наибольшего числа элементов.

2. Определите взаимное расположение двух плоскостей и в .

3. Пусть пространство есть прямая сумма подпространств . Докажите, что действие линейного оператора на любой вектор пространства определяется единственным образом, если известно действие этого оператора на каждом из подпространств .

4. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

Задание 44.

2. Определите взаимное расположение двух прямых.

3. В базисе оператор имеет матрицу . Найдите его матрицу в базисе , , .

4. Квадратичная форма задана в ортонормированном базисе. Приведите её к главным осям ортогональным преобразованием переменных.

Задание 45.

1. Докажите, что в пространстве множество всех чётных многочленов ( для всех ) является подпространством. Найдите какое-нибудь подпространство, дополнительное к нему.

3. Опишите образ и ядро оператора дифференцирования в пространстве .

4. Найдите и , где – линейное подпространство в , натянутое на заданные векторы . , , . ; , , .

Задание 46.

1. Докажите, что в базисом является всякая система ненулевых многочленов, содержащая по одному многочлену каждой степени .

2. Плоскость в линейном пространстве имеет направляющее подпространство . Докажите, что если , то . Докажите, что если , а , то .

4. Найдите уравнение такой хорды параболы , которая точкой делится пополам.

Задание 47.

1. Найдите линейную оболочку системы многочленов .

2. Докажите, что многочлен степени полностью определяется своими значениями при любых 4 попарно различных значениях независимой переменной.

3. – координаты элемента , а оператор задан своим действием в базисе . Найдите его матрицу . .

4. Докажите, что если последовательность элементов линейного пространства сходится к элементу по норме , то у числовой последовательности существует предел . Следует ли из сходимости последовательности сходимость последовательности элементов по норме ?

Задание 48.

1. Докажите, что подпространство тогда и только тогда является прямой суммой подпространств , когда пересечение каждого из подпространств , с суммой остальных подпространств состоит только из нулевого вектора.

3. Опишите образ и ядро оператора дифференцирования в пространстве .

4. Дана симметричная действительная матрица . Найдите действительную диагональную матрицу и ортогональную матрицу такие, что .

Задание 49.

1. Найдите матрицу перехода от базиса к базису в пространстве .

2. Определите взаимное расположение прямой и плоскости.

3. В базисе найдите матрицу оператора проектирования трёхмерного пространства на параллельно .

4. В базисе пространства линейная форма имеет вид . Найдите её выражение в естественном базисе .

Задание 50.

2. Определите взаимное расположение двух прямых и в .

3. В базисе найдите матрицу оператора проектирования трёхмерного пространства на параллельно .

4. Найдите все собственные значения матрицы ,

их алгебраические и геометрические кратности. Задает ли эта матрица оператор простой структуры?

Задание 51.

1. Докажите, что -матрица перестановочна со всеми -матрицами в том и только в том случае, если – скалярная матрица.

2. Определите взаимное расположение двух плоскостей и в .

3. В базисе найдите матрицу оператора проектирования трёхмерного пространства на параллельно .

4. Найдите уравнение такой хорды эллипса , которая точкой делится пополам.

Задание 52.

1. Докажите, что сумма подпространств и тогда и только тогда будет их прямой суммой, когда объединение базисов этих подпространств является базисом их суммы.

2. Найдите фундаментальную систему решений системы уравнений; найдите общее решение.

4. В действительном линейном пространстве введены два разных скалярных произведения и . Будет ли скалярным произведением в функция ? Будет ли скалярным произведением в функция , где , , ?

Задание 53.

1. Проверьте, что векторы , , , образуют базис в . Проверьте, что векторы , , , образуют базис в . Найдите матрицу перехода от базиса к базису . Как связаны координаты и одного и того же вектора в этих двух базисах?

2. Определите взаимное расположение прямой и плоскости.

3. Проверьте, что оператор дифференцирования является вырожденным в пространстве многочленов степени не выше ; является невырожденным на двумерном линейном пространстве, натянутом на функции и (с обычными определениями сложения функций и умножения функции на число).

4. В параболе проведены всевозможные хорды, параллельные прямой . Докажите, что середины всех этих хорд лежат на прямой .

Задание 54.

1. Является ли линейно зависимой или линейно независимой система элементов , , , пространства ?

3. Докажите, что произведение операторов и тогда и только тогда будет невырожденным оператором, когда каждый из операторов и не вырожден. При этом .

4. Оператор переводит элементы , , в элементы , , соответственно; все элементы заданы своими координатами в ортонормированном базисе . Найдите матрицу сопряжённого оператора в базисе .

Задание 55.

1. Проверьте, что векторы , , , образуют базис в и найдите координаты вектора в этом базисе.

2. Найдите фундаментальную систему решений системы уравнений; найдите общее решение.

Дата добавления: 2015-11-13; просмотров: 37 | Нарушение авторских прав

<== предыдущая страница	\|	следующая страница ==>
Кривые и поверхности второго порядка. 3 страница	\|	модели с системой управления работой двигателя SAAB Trionic

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.021 сек.)