Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Пример решения задания Д10.



Читайте также:
  1. I Всебелорусский съезд (конгресс) в Минске в декабре 1917 г. и его решения. Провозглашение Белорусской народной республики и ее уставные грамоты
  2. I. Анализ задания
  3. I. Задания для самостоятельной работы
  4. I. Задания для самостоятельной работы
  5. I. Задания для самостоятельной работы
  6. I. Задания для самостоятельной работы
  7. I. Задания для самостоятельной работы

Условие задачи в кратком виде:

Дано: m 1 = 40 кг; m 2 = 25 кг; m 4 = 60 кг; ОА = l 2 = 1,5 м; OD = d = 1,0 м; OB = 2 a = = 1,2 м; с = 7000 Н/м; схема – на рис. Д10-2. _________________________

Найти: 1) дифференциальное уравнение малых колебаний -?

2) Т -?

Рис. Д10.2

 

Рис. Д10.3

Решение.

На рис. Д10-2 показана механическая система в положении устойчивого равновесия.

Покажем систему в произвольном положении (рис. Д10-3). За обобщенную координату данной системы с одной степенью свободы принимаем угол φ отклонения стержня ОА от вертикали, отсчитываемый против направления движения часовой стрелки, т.е.

Обобщенная скорость , т.е. обобщенная скорость – угловая скорость вращения механической системы относительно оси Z (на рис. не показана), проходящей через опору О.

Запишем уравнение Лагранжа (учитываем, что все заданные силы потенциальные):

Вычисляем кинетическую энергию системы:

Кинетическая энергия груза 1, который принимаем за материальную точку:

Н·м.

Кинетическая энергия стержня ОА, вращающегося вокруг точки О:

Момент инерции стержня ОА относительно оси вращения:

кг·м2.

Следовательно,

Н·м.

Кинетическая энергия плоской фигуры 4 (полукруга) относительно оси вращения О:

Момент инерции плоской фигуры относительно оси вращения О определим при помощи теоремы Гюйгенса-Штейнера:

кг·м2.

где: - момент инерции полукруга относительно оси, проходящей через т. О1.

Получаем:

Н·м.

Таким образом, кинетическая энергия системы равна:

Н·м.

Продифференцируем выражение кинетической энергии:

Вычислим потенциальную энергию системы. За нулевое положение системы примем ось ох.

Потенциальная энергия силы тяжести :

Н·м;

Потенциальная энергия силы тяжести :

Н·м;

 

Потенциальная энергия силы тяжести :

Н·м;

Потенциальная энергия силы упругости:

где: λ – удлинение пружины, причем

где: λст – статическое сжатие пружины в положении равновесия.

Таким образом, потенциальная энергия системы равна:

Н·м;

Частная производная от потенциальной энергии П по обобщенной координате φ равна:

В положении равновесия система сумма моментов всех сил относительно точки О равна нулю. Следовательно:

Поэтому:

При малых колебаниях механической системы около положения равновесия ввиду незначительности угла φ можно положить:

и

Тогда

Уравнение Лагранжа будет иметь вид:

или

Обозначим

Таким образом получим дифференциальное уравнение свободных колебаний:

Период колебаний

Ответ: 1)

2)

 

 


Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 110 | Нарушение авторских прав






mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)