Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Решение первой граничной задачи для плоскости с круглым отверстием.



Читайте также:
  1. I. ЗАДАЧИ КОМИССИЙ ПО ДЕЛАМ НЕСОВЕРШЕННОЛЕТНИХ И ПОРЯДОК ИХ ОРГАНИЗАЦИИ
  2. I. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ОРГАНОВ НАРОДНОГО КОНТРОЛЯ
  3. I. Этап «Военно-интеллектуальный - 1914». Посвящен памяти русских солдат участников Первой мировой войны 1914-1918 годов.
  4. I.ЗАДАЧИ НАБЛЮДАТЕЛЬНЫХ КОМИССИЙ И ПОРЯДОК ИХ ОРГАНИЗАЦИИ
  5. II. Историческая наука России первой половины XIX века: становление профессионализма
  6. II. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА 1938 ГОД
  7. II. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ

Начало декартовой системы координат поместим в центр отверстия. Будем считать известными радиус отверстия , модули упругости и материала упругой плоскости, предельные значения напряжений при , а также координаты вектора напряжений в произвольной точке отверстия ( есть величина угла между осью и лучом, проведенным из начала координат через точку ). Искомыми величинами считаем напряжения в упругом теле.

В § 7 предыдущей темы было установлено, что искомые функции в любой окрестности точки и, в частности, в рассматриваемой плоскости с отверстием имеют такую структуру

,

. (3.1)

где – проекции на оси и главного вектора нагрузки, приложенной к контуру отверстия,

, ; (3.2)

и – комплексные постоянные:

,

– произвольная константа; , – однозначные аналитические функции в комплексной плоскости с отверстием, включая и точку , то есть имеющие разложения в ряды Лорана в окрестности этой точки вида

.

Известно, что замена функций и на функции и соответственно не влияет на напряженное состояние упругого тела. Поэтому для фиксации функций , можно распорядиться выбором действительной постоянной и комплексных постоянных и , так, чтобы обеспечить надлежащее поведение этих функций в окрестности точки .

Функции и на контуре отверстия должны удовлетворять граничным условиям (9.3), т.е.

,

где – произвольная постоянная, – произвольная точка контура , – радиус отверстия,

.

Функцию считаем известной, так как в первой граничной задаче на границе отверстия заданы координаты и вектора напряжения. Распорядимся выбором постоянных , , так, чтобы оказалось

.

В этом случае ряды Лорана для функций и в формулах (3.1) будут иметь вид:

, . (3.4)

Преобразуем граничное условие задачи в граничное условие для функций и . На основании формул (3.1) на границе упругого тела имеем

, ,

.

Подставим эти выражения для функций в граничное условие задачи для функций и

. (3.5)

Предполагая, что ряды Лорана (3.4) для функций , и производные от них сходятся как во внутренних точках рассматриваемой бесконечной области, так и в точках границы и что функция может быть представлена комплексным рядом Фурье

,

приходим после подстановки рядов (3.4) в граничное условие (3.5) к равенству для определения коэффициентов и рядов Лорана для функций и

.

После определения функций и при помощи формул (3.4), а затем и функций и при помощи формул (3.1), найдём напряжения в упругом теле, руководствуясь формулами Колосова- Мусхелишвили.

Опишем основные этапы решения первой граничной задачи плоской теории упругости для плоскости с круглым отверстием:

1. Определяем в каждой точке граничной окружности координаты вектора напряжения по заданной нагрузке.

 
 

2. Определяем напряжения по условиям нагружения плоскости с отверстием вдали от отверстия.

3. Определяем координаты и главного вектора нагрузки, приложенного к контуру отверстия по формулам (3.2).

4. Вычисляем значения постоянных и по формулам (3.3), которые с учетом того, что , принимают вид:

, . (3.7)

5. Определяем функцию в правой части граничного условия (3.5):

. (3.8)

6. Раскладываем функцию в комплексный ряд Фурье

, .

7. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в граничном условии (3.6), получаем уравнения для определения коэффициентов и рядов Лорана (3.4) для функций и .

8. По найденным функциям и строим функции и , руководствуясь формулами (3.1).


Дата добавления: 2015-07-10; просмотров: 59 | Нарушение авторских прав






mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)