Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

О рядах Фурье в комплексной форме.



Читайте также:
  1. Power To The People (1971) – Джон Леннон и Йоко Оно в военной униформе.
  2. Анализ Фурье
  3. В.9. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, сходимость ряда Фурье.
  4. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме
  5. ВЫРАЖЕНИЯ ГНЕВА В ПРИЕМЛЕМОЙ ФОРМЕ.
  6. Д 23. Формирование кустарников в кустовой и штамбовой форме.
  7. Дифференциальные уравнения. Ряды. Ряды Фурье.

Пусть – действительная функция, заданная на отрезке и удовлетворяющая на нем условиям Дирихле (функция непрерывна на отрезке за возможным исключением конечного числа разрывов первого рода и имеет конечное число максимумов и минимумов). В этом случае функцию можно представить рядом Фурье

,

где

, .

Напомним, что ряд Фурье сходится во всех точках интервала к функции , которая совпадает с в точках непрерывности. На концах 0 и промежутка суммой ряда оказывается число . Если является непрерывной во всех точках отрезка , удовлетворяет на нем условиям Дирихле и , то ряд Фурье сходится к равномерно на отрезке .

Заменим в ряде Фурье и известными выражениями

, ,

получим

.

После введенных новых обозначений

будем иметь

. (1.1)

Этот ряд будем называть комплексным рядом Фурье функции .

Получим выражения коэффициентов комплексного ряда через функцию . С этой целью воспользуемся тем, что для целого

Умножим обе части формулы (1.1) на и проинтегрируем по от 0 до , получим:

.

Следовательно,

(1.2)

Рассмотрим теперь комплексную функцию , где и – действительные функции, удовлетворяющие условиям Дирихле на . Каждую из этих функций можно представить комплексным рядом Фурье вида (1.1). Умножив ряд для функции на и прибавив его к ряду для функции , получим снова ряд вида (1.1)

, (1.3)

в котором согласно (1.2)

(1.4)

В отличие от предыдущего случая коэффициенты , ряда (1.4) не являются комплексно сопряженными числами.

Если действительная функция непрерывна и имеет непрерывные производные на отрезке до порядка и производная порядка удовлетворяет условиям Дирихле на том же промежутке, то коэффициенты , ряда Фурье функции удовлетворяют неравенствам

, , ,

где – некоторая положительная постоянная. Отсюда вытекает, что коэффициенты ряда (1.3) для функции удовлетворяют неравенствам того же вида

при условии, что функции и имеют непрерывные производные до порядка на , а их производные порядка удовлетворяют условиям Дирихле.

Заметим, что при , то есть когда функции и имеют непрерывные производные, удовлетворяющие условиям Дирихле, для коэффициентов комплексного ряда Фурье (1.3) выполняются неравенства

А это означает, что ряд (1.3) сходится абсолютно, так как

и ряд сходится.

 


Дата добавления: 2015-07-10; просмотров: 102 | Нарушение авторских прав






mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)