Формулы Колосова-Мусхелишвили).

Обратимся к формулам (2.6) для перемещений точек упругого тела при плоской деформации. Умножим вторую формулу на и сложим с первой формулой, получим

.

Для преобразования правой части равенства воспользуемся формулой (3.2) для и тем, что . Тогда придем к следующему комплексному представлению перемещений

, (4.1)

где – аналитическая функция в области , занятой телом.

Рассмотрим теперь линейные комбинации напряжений и . Согласно формулам (2.1), (3.3), (3.4), используя функции и , получаем

,

.

Таким образом,

, (4.2)

. (4.3)

В этих формулах

, , . (4.4)

Формулы (4.1)-(4.3) называются формулами Колосова-Мусхелишвили. Из этих формул вытекает, что для определения напряжений и перемещений в упругом теле достаточно найти две аналитические функции и в области, занятой телом. Если же требуется определить только напряжения в теле, то для этого достаточно найти две аналитические функции и .

Поясним механический смысл функции

.

Пусть – область, занятая упругим телом, а и – две различные точки этой области. Соединим эти точки какой-либо гладкой дугой. Установим на ней положительное направление от точки к точке . Так как дуга гладкая, то с каждой ее точкой можно связать единичный вектор , нормальный к касательной (единичный нормальный вектор). Считаем, что вектор направлен вправо, если двигаться по дуге в положительном направлении.

Отбросим часть тела, расположенную справа от дуги , и заменим действие отброшенной части тела на оставшуюся нагрузками, распределенными вдоль дуги . Обозначим через – вектор напряжения в точке дуги по сечению с внешней нормалью . Тогда, очевидно, интеграл

будет главным вектором распределенной по дуге нагрузки. Пусть и проекции вектора на оси и соответственно. Тогда, как показано в монографии [],

. (4.5)

В правой части равенства стоит разность значений функции в точках и .

§ 5. Степень определенности функций , , и .

Предположим, что напряжения , , в упругом теле известны. Эти напряжения выражаются через две аналитические в функции и согласно формулам (4.2) и (4.3). Возникает вопрос: являются ли указанные функции единственными для данного напряженного состояния тела?

Предположим, что кроме совокупности аналитических функций , , , , существует другая совокупность аналитических функций , , и , которой отвечают такие же напряжения в теле, как и первой совокупности аналитических функций. Тогда

,

,

, . (5.1)

Из этих равенств видно, что аналитические функции и имеют одинаковые действительные части. Отсюда следует, что разность есть комплексная константа вида , где – действительной число. Действительно, пусть , а . Согласно условиям Коши-Римана имеем

, .

Частные производные функций и по переменной одинаковы. Одинаковы и частные производные этих функций по переменой . Следовательно, и, потому, . Из последнего равенства вытекает, что первообразные функций и отличаются на слагаемое вида , где – произвольная комплексная постоянная, то есть

.

Поскольку , то , но тогда из (5.1) следует, что в области , а .

Таким образом, заданному напряженному состоянию тела отвечает не единственный набор функций , , и , а класс наборов, при этом два различных набора связаны соотношениями

, ,

, . (5.2)

Здесь, – действительная постоянная, и – комплексные постоянные.

Выясним теперь, как различаются наборы функций , , , , отвечающие заданным напряжениям , , и перемещениям и в теле, то есть отвечающие заданному напряженно-деформированному состоянию тела. Пусть кроме функций , , ,, которым соответствуют заданные в теле напряжения и перемещения, существуют еще функции , , , , которым отвечают те же напряжения и перемещения в теле. Тогда в области должны выполняться равенства (5.1) и равенства

. (5.3)

Как было установлено выше, из равенств (5.1) вытекают соотношения (5.2) между рассматриваемыми двумя наборами функций. Равенства (5.3) накладывают дополнительные ограничения на выбор постоянных , и , а именно

.

Учитывая, что в левой части тождества находится многочлен первой степени относительно переменной , приходим к выводу:

, . (5.4)

Следовательно, два каких-либо набора функций, отвечающих одному и тому же напряженно-деформированному состоянию упругого тела связаны такими соотношениями

, , , ,

причем комплексные постоянные и не являются произвольными, а удовлетворяют условию (5.4).

произвольными постоянными, с точностью до которых определяются искомые функции , , , , можно всегда распорядиться так, чтобы эти функции приняли наиболее простой вид.

Дата добавления: 2015-07-10