Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Задача о движении двух частиц.

Операторы координат, импульсов и их функций | Операторы момента импульса | Уравнение Шредингера. Стационарные состояния | Уравнение движения в форме Гейзенберга. Интегралы движения | К классическим | Соотношения неопределенностей для энергии и времени | Свободное движение микрочастиц | Движение частиц в прямоугольной потенциальной яме | Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект | Линейный гармонический осциллятор |


Читайте также:
  1. VI. Общая задача чистого разума
  2. В дочеховской драме герои сопротивлялись обстоятельствам, отстаивали свои позиции, и это составляло главную пружину в движении драматического действия.
  3. В.13. Задача Коши для уравнения колебания струны. Формула Даламбера.
  4. Введите перечень работ, установите длительность и связи между задачами
  5. Введите перечень работ, установите длительность и связи между задачами
  6. Все вокруг нас - это энергия, а энергия может существовать лишь в движении
  7. Героическая задача: путешествие в подземный мир

& Литература: [1], [8].

Задача о системе двух частиц относится, например, к атому водорода, мезоатому, позитронию. Как и в классической механике, она сводится к задаче об одной частице.

На рисунке 23.1 изображены две частицы. Их массы m1 и m2, а радиус-векторы 1 и 2. Величина = 2 1 (23.1)

определяет положение второй частицы относительно первой. С – центр масс системы. Его радиус-вектор = . (23.2)

Гамильтониан рассматриваемой системы

= + + U(r)

посредством замены переменных (23.1) и (23.2) можно представить в виде суммы независимых частей:

= () + (). (23.3)

Отсюда следует, что волновая функция Y( 1, 2) системы равна произведению собственных функций этих частей:

Y( 1, 2) = Y() Y(). (23.4)

Собственная функция Y() гамильтониана () описывает движение частицы массой (m1 + m2), которая находится в центре масс С.

Второе слагаемое в формуле (23.3) имеет вид

() = + U(), (23.5)

где m = m1 m2 / (m1 + m2). (23.6)

Собственная функция Y() этого гамильтониана характеризует движение m-точки, то есть частицы массой m (10.6) и радиус-вектором (10.1), относительно центра масс С; m-точка находится в поле, потенциальная функция U() которого описывает взаимодействие рассматриваемых частиц.

Таким образом, задача сводится к решению стационарного уравнения Шредингера для m-точки, находящейся в центральном поле:

() Y() = E Y(). (23.7)

Центральная симметрия обуславливает использование сферических координат r, q, j. В этих координатах гамильтониан (23.5) можно представить следующим образом:

() = – + + U(r), (23.8)

где выражается формулой (22.3), то есть является оператором квадрата момента импульса.

Благодаря (23.8) решение уравнения (23.7) можно искать в виде

Y() = R(r) Y l m (q, j), (23.9)

где угловая часть волновой функции Y l m (q, j) является собственной функцией оператора . Она определяется соотношением (22.5) и соответствует собственным значениям (22.4).

Учтя (22.4) при подстановке (23.9) и (23.8) в (23.7), получим уравнение для радиальной части R(r)волновой функции:

r R(r) + (E – U (r) – ) R(r) = 0. (23.10)

Уравнение (23.10) определяет также и энергетический спектр. Видно, что энергия E не может зависеть от магнитного квантового числа m, но может зависеть от числа l.

? Контрольные вопросы

1. Как осуществляется разделение переменных при решении задачи о системе двух частиц? К каким более простым задачам она сводится?

2. Что такое m-точка? Какой она имеет смысл для атома водорода?

3. Что такое угловая и что такое радиальная части волновой функции? Какой смысл имеют содержащиеся в них квантовые числа?

4. Какую информацию об энергетическом спектре содержит в себе уравнение Шредингера для радиальной части волновой функции?

F
Задания

23.1. Получите соотношение (23.3).

23.2. Получите выражение (23.8), используя формулу для оператора Ñ2 в сферической системе координат:

Ñ2= + (23.11)

23.3. Получите уравнение (23.10).


Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 103 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Ротатор. Собственные функции и собственные значения операторов орбитального момента импульса| Решение квантово-механической задачи об атоме водорода

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)