Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Интегрирование по частям.



Читайте также:
  1. А) По теме интегрирование
  2. Идеология гедонизма. Скрытое интегрирование.
  3. Интегрирование подстановкой.
  4. Интегрирование рациональных дробей
  5. Интегрирование рациональных дробей
  6. Интегрирование тригонометрических выражений

Метод интегрирования по частям базируется на следующей теореме:

Теорема 2. Пусть функция U = U (x) и V = V (x) дифференцируемы на некотором интервале (a; b). Пусть на (a; b) функция V (xU ’(x) имеет первообразную. Тогда на (a; b) функция U (xV ’(x) также имеет первообразную. При этом справедливо равенство:

.

Доказательство. По форме дифференцирования:

(U (xV (x))’ = U ’(xV (x) + U (xV ’(x).

По свойству неопределенного интеграла:

.

Тогда можно записать:

Замечание 1. Определение дифференциала и свойства инвариантности его формы позволяют переписать формулу интегрирования по частям в более короткой форме:

.

Замечание 2. Для успешного вычисления интеграла необходимо разумно разбить подинтегральное выражение на два множителя u (x) и dV (x) так, чтобы интеграл оказался легко интегрируемым.

Практика показывает, что большая часть интегралов, берущихся с помощью метода интегрирования по частям может быть разбита на следующие три группы.

1) К первой группе относятся интегралы, у которых подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из следующих функций:

Ln x; arcsin x; arcos x; arctg x; arcctg x; ln2 x; lnj(x); arcsin2 x;…

при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.

Тогда за функцию u (x) берут соответствующую из перечисленных.

2) Ко второй группе относятся интегралы вида

, ,

, ,

где a,b,a,,A – некоторые постоянные числа, A > 0, n Î N.

 

При этом в качестве u (x) следует брать (ax + b) n и интегрировать по частям n раз.

3) К третьей группе относятся интегралы вида:

, , ,

, , ,

где a, b, A – постоянные числа, A > 0, A # 1.

Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям при любом выборе u (x). Это приводит к линейному уравнению относительно предложенного интеграла, откуда его и находят.

Замечание. Указанные три группы не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.


Дата добавления: 2015-07-10; просмотров: 154 | Нарушение авторских прав






mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)