Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Основные шаги

Читайте также:
  1. I. ОСНОВНЫЕ БОГОСЛОВСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
  2. I. ОСНОВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
  3. I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
  4. I. Основные приемы (способы выполнения).
  5. I. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОЛИТИКИ ПЕРЕМЕН
  6. I. Основные элементы текстового документа
  7. II. Основные факторы, определяющие состояние и развитие гражданской обороны в современных условиях и на период до 2010 года.

1. Положим r = 0.

2. Положим r = r +1.

3. Проверяем условие

. (7)

Если (7) выполняется, то сделаем следующее.

3.1. Положим

xr = () ⁄ (ar + br). (8)

3.2. Положим xi = 1 (i = 1, …, r –1), xi = 0 (i = r +1, …, N).

3.3. Стоп. Алгоритм прекращает работу.

В противном случае переходим на шаг 2.

В силу равенства (1) легко понять, что условие (7) обязательно будет выполнено при ка-ком-либо r. Нетрудно проверить, что xr, определяемое формулой (8), лежит между 0 и 1. Более сложным является центральное в данном разделе

Утверждение 2. Делёж, построенный описанным выше алгоритмом ПП, является спра-ведливым для любых сравнительных важностей a 1, …, aN и b 1, …, bN. Единственный пункт, который может делиться в построенном платеже – это r -ый пункт, где r – минимальный индекс, удовлетворяющий условию (7) ■

Пример 5. Рассмотрим задачу дележа, данные которой представлены в таблице 1. После

Таблица 1
пп A B ai / bi
      2,17
      0,39
      2,70
      0,62
      0,79

 

Таблица 2
пп A B ai / bi
1(3)     2,70
2(1)     2,17
3(5)     0,79
4(4)     0,62
5(2)     0,39

 

перенумерации пунктов в соответствии с формулой (6) получим задачу, представленную в таб-лице 2 (в 1-м столбце в скобках указаны исходные номера пунктов).

Далее последовательно проверяем, начиная с r = 1, условия (7), используя нумерацию пунктов из таблицы 2. При r = 1 имеем

= a 1 = 27, = b 2 + b 3 + b 4 + b 5 = 12 + 29 + 21 + 28 = 90. Так как 27 < 90, то условие (7) не выполняется.

Далее, при r = 2,

= a 1 + a 2 = 27 + 26 = 53, = b 3 + b 4 + b 5 = 29 + 21 + 28 = 78. Так как 53 < 78, то условие (7) не выполняется.

Далее, при r = 3,

= a 1 + a 2 + a 3 = 27 + 26 + 23= 76, = b 4 + b 5 = 21 + 28 = 49. Так как 76 ≥ 49, то условие (7) выполняется. Поэтому, в соответствии с операциями на шаге 3, получаем

xr = () ⁄ (ar + br) = (78 – 53) ⁄ (23 + 29) = 25 ⁄ 52 = 0,48.

Таким образом, построенный делёж таков: x = (1; 1; 0,48; 0; 0). Это означает, что 1-ый и 2-ой пункты целиком достаются участнику A, 4-ый и 5-ый пункты – участнику B; 3-ий пункт делится между ними в пропорции 0,48:0,52. Переходя к исходной нумерации пунктов, приве-дённой в левом столбце таблицы 2, окончательно получаем следующее. Участник A целиком получает 1-ый и 3-ий пункты, участник B – 2-ой и 4-ый пункты, а 5-ый пункт делится между участниками в той же пропорции 0,48:0,52. Поэтому окончательный делёж принимает вид: x = (1; 0; 1; 0; 0,48).

Зная делёж x, можно по формулам (2) подсчитать выигрыши участников. Имеем

G A(x) = = 26•1+11•0+27•1+13•0+23•0,48 ≈ 64,06;

G B(x) = ) = 12•0+28•1+10•0+21•1+29•0,52 ≈ 64,06.

Примерное равенство выигрышей здесь не случайное совпадение, а следствие утверждения 2. Если считать не в десятичных, а в простых дробях, получится точное равенство. Поскольку по-строенный делёж является справедливым, то оба участника получают одинаковую сумму бал-лов просто по определению справедливого дележа. Из формулы (5) ясно также, что построен-ный делёж свободен от зависти. В силу того же утверждения 2 делёж x Парето-эффективен ■

Пример 6. Рассмотрим задачу дележа, данные которой представлены в таблице 3. После

Таблица 3
пп A B ai / bi
      2,17
      0,39
      2,70
      0,62
      0,79

 

Таблица 4
пп A B ai / bi
1(4)     4,50
2(2)     0,15
3(5)     0,15
4(1)     0,10
5(3)     0,10

 

перенумерации пунктов в соответствии с формулой (6) получим задачу, представленную в таб-лице 4 (в 1-м столбце в скобках указаны исходные номера пунктов). Далее последовательно проверяем, начиная с r = 1, условия (7), используя нумерацию пунктов из таблицы 4. При r = 1 имеем = a 1 = 90, = b 2 + b 3 + b 4 + b 5 = 20 + 20 + 20 + 20 = 80. Так как 90 ≥ 80, то условие (7) выполняется. Поэтому, в соответствии с операциями на шаге 3, получаем

x 1 = () (ar + br) = (100 – 0) ⁄ (90 + 20) = 100 ⁄ 110 = 10 11; x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = 0.

Возвращаясь к исходной нумерации пунктов, приведённой в левом столбце таблицы 4, окончательно получаем следующее. Участник A получает только 10 11 4-го пункта, участник B – 1 11 4-го пункта и все остальные пункты целиком. Поэтому окончательный делёж прини-мает вид: x = (0; 0; 0; 0,91; 0). Зная делёж x, можно по формулам (2) подсчитать выигрыши учас-тников. Имеем

G A(x) = = 2•0+ 3•0+ 2•0+90•(10 11)+3•0 = 81 ;

G B(x) = ) = 20•1+20•1+20•1+20•(1 11)+20•1 =.81 ,

Как и в примере 5, легко проверить, что данный делёж является справедливым. Заметим, что выигрыш обоих участников значителен. Это происходит из-за большого различия в оценках ■

Задание 2. Найти справедливые дележи и соответствующие им выигрыши алгоритмом ПП. В качестве образца использовать примеры 5 и 6.

 

 

 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     
 
пп A B
     
     
     
     
     

2.3. Неделимые пункты. Задача справедливого дележа часто возникает при слиянии двух компаний (см. [3]). Речь идёт не столько о финансовых проблемах (которые обычно разрешают-ся в соответствии с имеющимися у компаний акциями и другими активами), сколько о так на-зываемых «социальных» вопросах: как власть, должности и местопребывание делятся между менеджерами сливающихся компаний. Во многих случаях эти вопросы таковы:

название объединённой компании;

местопребывание штаб-квартиры;

назначение на должности президента и генерального директора;

сокращение служащих с целью избежать дублирования операций после слияния.

Пример 7. Важности, которые каждая из двух сливающихся фирм A и B придаёт указан-ным выше пунктам, приведены в таблице 5. Заметим, что речь идёт именно о важности, а не о положительном или отрицательном отношении к данному пункту. Например, если по пункту сокращений фирмы указывают 5% и 15%, то это значит, что сокращение 3Х сотрудников 1-ой фирмой равносильно сокращению Х сотрудников 2-ой фирмой (для неё это более значимый вопрос). Конечно, назначение на должности президента и гендиректора имеет для обеих фирм положительное значение. В таблице 6 приведены те же данные в порядке, предписанном алго-ритмом ПП.

Таблица 5
Пункт A B
1. Название    
2. Штаб-квартира    
3. Назначение президента    
4. Назначение директора    
5. Сокращения    
Всего    

 

Таблица 6
Пункт A B
1. Сокращения    
2. Назначение директора    
3. Назначение президента    
4. Штаб-квартира    
5. Название    
Всего    

 

Воспользуемся алгоритмом ПП. Проводя вычисления аналогично вычислениям в приме-рах 4 и 5, получим делёж x = (0; 0; ; 1; 1). Это значит, что фирма A назначает директора и не проводит сокращения, фирма B определяет название и выбирает место для штаб-квартиры. Наконец, назначение на должность президента делится между фирмами в пропорции 5: 2. Вы-игрыши обеих фирм равны при этом 65

Однако указанный в примере 6 делёж, хотя и является формально справедливым, вряд ли реализуем. Действительно, трудно представить должность президента (как и большинство дру-гих должностей) разделённой в некоторой пропорции (например, представитель одной фирмы является президентом в течение 5 лет, а другой – в течение 2 лет). Суть дела в том, что не толь-ко в данной ситуации, но и во многих других некоторые (а иногда и все) пункты неделимы. По-этому метод ПП может оказаться неприменимым – как раз тогда, когда неделимым оказывается тот единственный пункт, который должен делится в соответствии с методом ПП. Более того, справедливого (в указанном выше смысле) дележа может не существовать. Предположим, что в примере 6 неделимым является только 4-ый пункт (тот, который оценивается участником А в 90%). Действительно, если этот пункт достаётся целиком участнику А, то при любом дележе других пунктов его выигрыш не меньше 90, а выигрыш участника В не превосходит 80. Если же этот пункт достаётся участнику В, то его выигрыш то при любом дележе других пунктов не меньше 20, а выигрыш участника А не превосходит 10. Таким образом, в этой ситуации равно-ценность и, следовательно, справедливость дележа не может быть обеспечена.

В общем случае, т.е. при любом распределении делимых и неделимых пунктов, необходи-мые и достаточные условия существования справедливого дележа (в терминах значений важ-ности a 1, …, aN и b 1, …, bN всех пунктов) найдены сравнительно недавно (см. литературу в конце части) и здесь не приводятся. Ниже рассматривается случай 5-и пунктов, из которых только один делим, а остальные 4 неделимы. Именно такая ситуация имеет место в примере 7. В следующем примере приводится простой алгоритм, позволяющий найти справедливый де-лёж, если он есть, или установить его отсутствие.

Пример 8. Рассмотрим задачу справедливого дележа при данных в таблице 7 оценках важности пяти пунктов участниками А и B, из которых только выделенный жирным 2-ой пункт является делимым.

Таблица 7

пп A B
     
     
     
     
     

Поскольку 4 пункта (1-й, 3-ий, 4-ый и 5-ый) являются неделимыми, каждый из них целиком до-стаётся одному из участников. Поэтому распределение неделимых пунктов можно задать дво-ичным вектором s = (s 1, s 3, s 4, s 5), где

(i = 1, 3, 4, 5)

Выигрыши участников от неделимых пунктов при распределении s = (s 1, s 3, s 4, s 5) даются формулами

VA = 30 s 1+16 s 3+25 s 4 +17 s 5,

VB = 11(1– s 1)+22(1– s 3)+20(1– s 4)+19(1– s 5).

1. Вычислим выигрыши участников только от неделимых пунктов при всех распределени-ях s = (s 1, s 3, s 4, s 5) (их всего 16) и запишем их в следующую таблицу.

σ 1 σ 3 σ 4 σ 5 V A V B  
           
           
           
            *
           
            *
            *
           
σ 1 σ 3 σ 4 σ 5 V A V B  
           
             
             
           
            *
           
           
           

При добавлении какой-либо части 2-го пункта к выигрышу V A он не может увеличиться боль-ше, чем на 12. Аналогично, выигрыш V B не может увеличиться больше, чем на 28. Поэтому все строчки таблицы, в которой V BV A > 12 и все строчки таблицы, в которой V AV B > 28, не соответствуют справедливому дележу (в них разница между выигрышами участников не может быть компенсирована за счёт деления одного делимого 2-го пункта). Поставим в самом правом столбце таблицы знак «–» во всех таких строчках. Если все 16 строчек таблицы содержат мину-сы, то это означает отсутствие справедливого дележа при данных условиях.

2. Рассмотрим теперь все строчки таблицы, в правой позиции которых нет минусов. Слева от правого столбца стоит пара чисел – выигрыши V A и V B при соответствующем распределении неделимых пунктов. В данном случае эти пары таковы: (42,43), (33,31), (41,30), (47,42), (55,41), (46,39). Сравним, например, пару (47,42) с парой (46,39). Если распределение неделимых пунктов даёт выигрыши 47 и 42 (см. таблицу выше), то при любом делении 2-го пункта оба участника получают больше, чем при том же самом делении 2-го пункта и распределении неделимых пунктов, дающих выигрыши 46 и 39. Это рассуждение показывает, что все домини-руемые по Парето пары можно далее не рассматривать. Поставим знак * в строчки, соответст-вующие таким доминируемым парам выигрышей. В результате останутся ничем не помеченные строчки, содержащие недоминируемые по Парето пары (47,42) и (55,41).

3. Каждую из оставшихся пар надо проанализировать следующим образом.

3.1. Пара (47,42) соответствует дележу, при котором участник A получает пункты 1 и 5 (в сумме 47 баллов), а участник B – пункты 3 и 4 (в сумме 42 балла). Осталось разделить делимый 2-ой пункт. Пусть x – доля 2-го пункта, получаемая участником A. Из условия равенства баллов имеем

47 + 12 x = 42 + 28(1– x).

Решая уравнение, находим x = 23 ⁄ 40 = 0,575; далее 47 + 12*0,575 = 53,9 и каждый участник получает по 53,9 балла.

3.2. Пара (55,41) соответствует дележу, при котором участник A получает пункты 1 и 4 (в сумме 55 баллов), а участник B – пункты 3 и 5 (в сумме 41 балл). Из условия равенства баллов имеем

55 + 12 x = 41 + 28(1– x).

Решая уравнение, находим x =14 ⁄ 40 =0,35; далее 55+12*0,35=59,2 и каждый участник получает по 59,2 балла. Поскольку во 2-м случае выигрыш участников больше, то это решение и соответ-ствует справедливому дележу. В данном случае справедливый делёж x = (1; 0,35; 0; 1; 0).

Если же неотмеченным в таблице оказывается только один вариант, то он и есть опти-мальный. Но и в этом случае надо решить аналогичное уравнение и чётко указать, кто что полу-чает и чему равен выигрыш участников (напомним, что по определению справедливого дележа выигрыши участников должны совпадать) ■

Пример 9. Продолжение примера 7. Рассмотрим задачу справедливого дележа при дан-ных в таблице 5 оценках важности пяти пунктов участниками А и B. Эти же данные приведены в таблице 8 без названий пунктов. Последняя строчка, соответствующая единственному дели-мому пункту – сокращениям – выделена жирным.

Таблица 8

Пункт A B
     
     
     
     
     
Всего    

Применим метод, подробно описанный в примере 8. Выигрыши участников от неделимых пунктов при распределении s = (s 1, s 2, s 3, s 4) даются формулами

VA = 10 s 1+20 s 2+15 s 3 +25 s 4,

VB = 25(1– s 1)+35(1– s 2)+20(1– s 3)+10(1– s 4).

1. Вычислим выигрыши участников только от неделимых пунктов при всех распределени-ях s = (s 1, s 2, s 3, s 4) (их всего 16) и запишем их в следующую таблицу.

σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 V A V B  
           
           
           
             
           
             
             
           
σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 V A V B  
           
             
             
           
             
           
           
           

При добавлении какой-либо части 5-го пункта к выигрышу V A он не может увеличиться боль-ше, чем на 30. Аналогично, выигрыш V B не может увеличиться больше, чем на 10. Поэтому все строчки таблицы, в которой V BV A > 30 и все строчки таблицы, в которой V AV B > 10, не соответствуют справедливому дележу (в них разница между выигрышами участников не может быть компенсирована за счёт деления одного делимого 5-го пункта). Поставим в самом правом столбце таблицы знак «–» во всех таких строчках..

2. Рассмотрим теперь все строчки таблицы, в правой позиции которых нет минусов. В данном случае эти пары таковы: (40,60), (45,45), (35,35), (35,55), (25,45), (30,30). Из этих 6-и пар недоминирумыми по Парето будут пары (40,60) и (45,45). Все остальные пары доминируемы хотя бы одной из этих двух.

3.1. Пара (40,60) соответствует дележу, при котором участник A получает пункты 3 и 4 (в сумме 40 баллов), а участник B – пункты 1 и 2 (в сумме 60 баллов). Осталось разделить дели-мый 5-ой пункт. Пусть x – доля 5-го пункта, получаемая участником A. Из условия равенства баллов имеем

40 + 30 x = 60 + 10(1– x).

Решая уравнение, находим x = 0,75; далее 40 + 12*0,75 = 62,5 и каждый участник получает по 62,5 балла.

3.2. Пара (45,45) соответствует дележу, при котором участник A получает пункты 2 и 4 (в сумме 45 баллов), а участник B – пункты 1 и 3 (в сумме 45 баллов). Из условия равенства баллов имеем

45 + 30 x = 45 + 10(1– x).

Решая уравнение, находим x = 0,25; далее 45 + 30*0,25 = 52,5 и каждый участник получает по

52,5 балла.

Поскольку во 1-ом случае выигрыш участников больше, то это решение и соответствует справедливому дележу. В данном случае справедливый делёж x = (0;; 0; 1; 1; 0,75). Заметим, что выигрыш 62,5 балла меньше выигрыша 65 , получаемого методом ПП. Это неудивительно, поскольку решение, в отличие от метода ПП, теперь ищется не на множестве всех дележей, а на вложенном в него множестве дележей, удовлетворяющих дополнительным условиям на деле-ние пунктов 1 – 4 ■

Задание 3. Найти справедливые дележи и соответствующие им выигрыши для данных из задания 2 алгоритмом, описанным и продемонстрированным в примерах 8 и 9. Результаты зада-ний 2 и 3 с одними и теми же номерами сравнить. Единственным делимым пунктом является пункт, выделенный жирным шрифтом ■

Пример 10. Рассмотрим задачу дележа с исходными данными, приведёнными в таблице 9:

Таблица 9

Пункт A B
     
     
     
     
     
Всего    

В данном случае предполагается, что пункты 1 и 2 делимы, а пункты 3, 4 и 5 – неделимы. Рас-смотрим следующие два дележа: x = (0; 2⁄3; 1; 0; 1), y = (0; 0; 1; 1; 0). При дележе x участник A получает пункта 2 и пункты 3 и 5 целиком; участник B – пункта 2 и пункты 1 и 4 цели-ком; оба выигрыша равны 56 . При дележе y участник A получает пункты 3 и 4 целиком, участник В – пункты 1, 2 и 5 целиком; выигрыш участника A равен 65, а выигрыш участника В – 62. Оба дележа свободны от зависти, однако делёж x не является Парето-эффективным (при дележе y оба участника получают больше), а делёж y не является равноценным. Поэтому оба дележа не являются справедливыми в смысле введённого определения.

Можно убедиться, что в данном случае справедливого дележа просто не существует. Воп-рос о том, какой из двух рассмотренных дележей является «более» справедливым, не решается в рамках математики. Как и в других подобных случаях, суть дела в содержательных аспектах конкретной ситуации ■


Дата добавления: 2015-10-16; просмотров: 71 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Модификация основной постановки | Часть 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ: КОНФЛИКТЫ И СОТРУДНИЧЕСТВО | Решение игры | Удаление стратегий | Смешанное расширение матричных игр | Решение игр размерности 2´2 и 2´n в смешанных стратегиях | Биматричные игры | Позиционные игры | Алгоритм 2. Расстановка меток у вершин графа игры. | Обобщённые паросочетания |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Справедливый делёж| Пропорциональное представительство

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.027 сек.)