Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Разность матриц A и B будем обозначать A-B.

Читайте также:
  1. Ағымдар, инциденциялар және аралас матрицаларды анықтау.
  2. Алгоритм нахождения ранга матрицы.
  3. Белые не ответили, сознавая всю разность миросозерцании.
  4. БУДЕМ КРАСИВО УЧИТЬСЯ!
  5. Будем ласковы, чтобы поощрить, будем упрекать, не обижая.
  6. Будем стараться жить со Христом
  7. Будем уходить, – сказала я Лопоухому.

Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой определены равенством

Произведение матрицы A на число будем обозначать .

Теорема 2.2 Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) (Распределительное свойство относительно сложения матриц);

4) (Распределительное свойство относительно сложения чисел);

5) -A=(-1)A.

Все перечисленные свойства непосредственно вытекают из определения.

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число позволяют для произвольных матриц одинакового размера и произвольных чисел однозначно определить матрицу , называемую линейной комбинацией матриц с коэффициентами .

Умножение матриц. Произведением матриц и называется матрица , элементы которой определены равенством

Произведение матриц A и B будем обозначать C=AB.

Из определения следует, что произведение AB определено лишь в том случае, когда число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B. Это означает, что оба произведения AB и BA определены тогда и только тогда, когда матрицы A и B имеют размеры и соответственно. Следовательно равенство AB=BA возможно лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Однако и в этом случае произведение матриц, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей.

Матрицы A и B называются перестановочными или коммутирующими, если AB=BA.

Теорема 2.3 Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:

1) (AB)C=A(BC); (Свойство ассоциативности)

2) , для любого действительного числа

3) A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC (Свойство дистрибутивности), для любых матриц A, B, C, для которых левые части равенств имеют смысл.

Справедливость свойств 2) и 3) доказываются непосредственно.

В качестве иллюстрации приведём доказательство первого равенства свойства 3). Пусть , , . Матрицы A(B+C) и AB+AC имеют одинаковый размер - . Пусть - элемент матрицы A(B+C) в позиции (i,j), - элемент матрицы AB+AC в позиции (i,j), тогда

Из равенств (1) и (2) следует, что , что доказывает первое равенство свойства 3).

Подробное доказательство свойства 1) можно найти в учебнике В. А. Ильин, Г. Д. Ким "Линейная алгебра и аналитическая геометрия".

Заметим, что для любой матрицы и единичных матрицы и справедливо:

Транспонирование матриц. Пусть . Матрица называется транспонированной к матрице A, если

Транспонированная матрица также обозначается символами и .

Заметим, что при транспонировании матрицы её строки становятся столбцами матрицы , с теми же номерами, а столбцы - строками.

Теорема 2.4. Операция транспонирования матриц обладает следующими свойствами:

1) ;

2) , для любого действительного числа ;

3) ;

4) , для любых матриц A и B, для которых имеют смысл левые части равенств.

Свойства 1), 2), 4) непосредственно вытекают из определения.

Приведём доказательство свойства 3). Пусть и , при таком согласовании размеров матриц A и B произведения AB и существуют, при этом размеры и совпадают и равны . Пусть - элемент матрицы AB в позиции (i,j), - элемент матрицы , - элемент матрицы в позиции (i,j).

что доказывает справедливость свойства 3).


Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 74 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Понятие определителя n-го порядка | Миноры и алгебраические дополнения. | Решение линейных систем по формулам Крамера. Исследование линейных систем. | Линейные операции над векторами: определения, свойства | Базис, теорема о существовании и единственности разложения вектора по базису | Определение и свойства скалярного произведения векторов | Теорема о выражении скалярного произведения через координаты векторов-сомножителей | Определение и свойства векторного произведения векторов | Теорема о выражении векторного произведения через координаты векторов-сомножителей | Свойства смешанного произведения |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Матрицы: определения, операции над матрицами| СЦЕНА ПЕРВАЯ

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)