Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Метод обратной платёжной матрицы

Читайте также:
  1. I. ОРГАНИЗАЦИОННО - МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
  2. I. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
  3. I. Что такое проективные методики
  4. II. Організаційно-Методичні Рекомендації
  5. II. Отнесение опасных отходов к классу опасности для окружающей природной среды расчетным методом
  6. III. Комбинированный метод
  7. III. Отнесение опасных отходов к классу опасности для окружающей природной среды экспериментальным методом

 

Этот метод позволяет находить решение игровых задач только с квадратными платежными матрицами размерности , содержащих только активные стратегии (по n стратегий c каждой стороны). Активными стратегиями игрока называются те смешанные стратегии с наибольшими весами или вероятностями, которые он неизменно и последовательно будет применять в игре.

Метод обратной матрицы применим в следующих условиях:

1. Из платёжной матрицы удалены дублирующие и доминирующие (заведомо невыгодные) стратегии.

2. Установлено отсутствие седловой точки.

Из теоремы Фробениуса-Перрона следует, что положительные матрицы А (с элементами , не имеющие дублирующих или линейно зависимых строк и столбцов являются невырожденными (определитель матрицы ).

Математическая модель игры, в этом случае, задаётся квадратной платежной матрицей размерности :

 

,

 

которая имеет обратную матрицу:

 

 

где – адьюнкта матрицы , вычисляется по формуле:

 

,

здесь:

– алгебраическое дополнение элемента матрицы , – минор элемента матрицы , .

В игровой задаче без седловой точки требуется определить оптимальные смешанные стратегии игроков , обеспечивающие гарантированную цену игры .

Для определения оптимальной смешанной стратегии игрока , составим систему уравнений в предположении, что применяет свою оптимальную смешанную стратегию, а – свои частные стратегии:

 

,

 

и учтем условие нормировки . Для компактности, запишем эту систему уравнений в векторно-матричной форме:

 

, (1)

 

где – вектор-строка размерности , состоящий из одних единиц.

Умножим обе части равенства справа на :

 

.

 

Произведение матрицы и обратной матрицы равно единичной диагональной матрице :

 

.

 

В явном виде единичную матрицу не пишут, поэтому система уравнений (1) в нормальной форме записи относительно искомых вероятностей имеет следующий вид:

 

.

 

Рассмотрим новый вектор вспомогательных переменных :

 

 

Поскольку , справедлива цепочка равенств:

 


из которой следуют:

а) формула для расчета цены игры для игрока А:

 

 

б) формула для расчета вероятностей применения стратегий стороной :

 

Вывод формул вычисления цены игры и вероятностей стратегий стороны В аналогичен. Запишем систему уравнений для вероятностей стратегий в векторно-матричной форме:

 

,

 

или:

. (2)

 

Для игрока В вводятся вспомогательные переменные .

 

 

Формула вычисления цены игры через вспомогательные переменные для игрока В имеет вид:

 

Вероятности применения стратегий стороной вычисляются по формуле:

 

Как видим, формулы для вычисления вероятностей стратегий и цены игры игрока В имеют ту же структуру, что и для стороны А, только определяются они через вспомогательные переменные .

Отметим, что в силу существования и единственности обратной матрицы , решение игровой задачи при отсутствии седловой точки существует и единственное.

 

 


Дата добавления: 2015-09-03; просмотров: 100 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Матричные игровые задачи в логистике| Метод псевдообратной матрицы

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)