Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Выписка из программы курса

Читайте также:
  1. I. Общая характеристика программы
  2. I. ПРОГРАММЫ БАКАЛАВРИАТА
  3. II. Организационно-педагогические условия реализации программы (материально-техническое обеспечение образовательного процесса)
  4. II. Организация и проведение конкурса
  5. II. Порядок проведения Конкурса
  6. II. Распределение часов курса по темам и видам работ
  7. III. Конкурсные мероприятия муниципального этана Конкурса.

«Теория вероятностей и математическая статистика»

№ п/п Название разделов, тем  
 
 
  ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ  
1.1 Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. Элементы комбинаторики.  
1.2 Случайные события  
1.2.1 Случайные события и действия над ними. Теоретико-множественная интерпретация операций над событиями.  
1.2.2 Методы определения вероятностей событий (статистическое, классическое, геометрическое и аксиоматическое). Свойства вероятностей.  
1.2.3 Основные формулы теории вероятностей (правило умножения вероятностей, вероятность появления хотя бы одного события, формулы полной вероятности и Байеса).  
1.2.4 Схема независимых испытаний Бернулли. Приближенные формулы в схеме Бернулли.  
1.3 Случайные величины  
1.3.1 Случайные величины (дискретные и непрерывные), их законы распределения. Числовые характеристики случайных величин.  
1.3.2 Основные законы распределения дискретных случайных величин (биномиальный, Пуассона, геометрический, гипергеометрический).  
1.3.3 Основные законы распределения непрерывных случайных величин (равномерный, показательный, нормальный, логнормальный, распределения Пирсона, Стьюдента и Фишера).  
1.3.4 Предельные теоремы теории вероятностей: закон больших чисел и центральная предельная теорема.  
1.4 Системы случайных величин  
1.4.1 Понятие о системе случайных величин. Законы распределения системы.  
1.4.2 Система двух случайных величин: дискретных и непрерывных.  
1.4.3 Основные числовые характеристики системы двух случайных величин.  
1.5 Функция одной случайной величины  
  МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА  
2.1 Выборочный метод в статистике. Выборочные характеристики  
2.2 Статистическое оценивание параметров  
2.2.1 Точечные оценки параметров распределения и их свойства.  
2.2.2 Методы получения точечных оценок (моментов, максимального правдоподобия, наименьших квадратов).  
2.2.3 Интервальные оценки параметров распределения. Нахождение доверительных интервалов для неизвестного признака (математического ожидания, дисперсии или доли признака) в генеральной совокупности.  
2.3 Проверка статистических гипотез  
2.3.1 Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки.  
2.3.2 Проверка параметрических гипотез (о математических ожиданиях, дисрперсиях, доле признака в генеральной совокупности, значимости коэффициента корреляции).  
2.3.3 Проверка непараметрических гипотез. Критерий Пирсона  
2.4 Корреляционно-регрессионный анализ  
2.5 Дисперсионный анализ  

 

 

При подготовке к экзамену можно воспользоваться книгами из приведенного ниже списка.

Литература

  1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшее образование, 2004.
  2. Гмурман В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшее образование, 2006.
  3. Гусак А.А. Высшая математика. Т. 2. – Мн: Изд-во «Университетское», 1984.
  4. Гусак А.А., Бричикова Е.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач. Мн. 2003.
  5. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – М.: Высш. шк., 2000.
  6. Сборник задач по высшей математике для экономистов / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2003.
  7. Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. – М.: Айрис-пресс, 2007.
  8. Рябушко А.П. Индивидуальные задания по высшей математике: Теория вероятностей. Математическая статистика. – Мн: Выш. шк., 2006.
  9. Мацкевич И.П., Свирид Г.П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика. – Мн: Вышэйш. шк., 1993.

Вариант решения типовых задач

1. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наугад деталей 4 стандартных.

Решение. Воспользуемся классическим определением вероятности:

Определение. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов:

,

где ‑ число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению события А; ‑ число всех равновозможных элементарных исходов испытания.

Вероятность любого события удовлетворяет неравенству .

Основное событие А – «среди 6 взятых деталей 4 стандартных». По классическому определению вероятности . Общее число равновозможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов . Четыре стандартные детали из семи стандартных можно взять способами, при этом остальные 6 – 4 = 2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10 – 7 = 3 нестандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .

 

2. В трех ящиках находятся одинаковые детали. В 1-ом – 10 деталей, из них 3 нестандартных, во 2-ом –15 деталей, из них 5 нестандартных, в 3-ем – 20 деталей, из них 6 нестандартных. Из наудачу выбранного ящика извлечена деталь.

1) Найти вероятность, что эта деталь оказалась нестандартной.

2) Извлеченная деталь оказалась нестандартной. Найти вероятность того, что деталь извлечена из 2-го ящика.

Решение. Для ответа на первый вопрос воспользуемся формулой полной вероятности.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , , … , образующих полную группу. Будем эти события называть гипотезами. Вероятность события А в этом случае вычисляется по формуле

,

которая носит название формулы полной вероятности. Здесь ‑условная вероятность события А при условии, что произошло событие .

Замечание. Говорят, что события образуют полную группу, если в результате опыта появится хотя бы одно из них, т.е. появление хотя бы одного события из полной группы есть достоверное событие. Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате опыта появится одно и только одно из этих событий. Для событий полной группы .

Для ответа на второй вопрос задачи используем формулу Байеса.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , , …, , образующих полную группу. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно , , … . Произведен опыт, в результате которого наступило событие А. Вероятность гипотезы , после того, как событие А наступило, определяется по формуле Байеса

, .

1) Обозначим основное событие А – «извлечена нестандартная деталь». Можно сделать три предположения(гипотезы):

‑«деталь извлечена из 1-го ящика»,

‑ «деталь извлечена из 2-го ящика»,

‑«деталь извлечена из 3-го ящика».

Поскольку ящик выбирают случайно, то гипотезы равновозможные, следовательно,

Для нахождения условных вероятностей события А используем классическое определение вероятности. В первой урне из 10 три нестандартные детали, значит, . Во второй урне из 15 пять нестандартных деталей, значит, В третьей урне из 20 шесть нестандартных деталей, значит, . По формуле полной вероятности:

.

2) по формуле Байеса найдем :

 

 

3. Вероятность изготовления на станке детали высшего качества равна 0,8. Найти вероятность того, что из 6 взятых наудачу деталей 4 высшего качества.

Решение. Поскольку речь идет о идет о повторении независимых испытаний, воспользуемся формулой Бернулли. Если в каждом из независимых испытаний вероятность появления события А постоянна и равна , то вероятность того, что в независимых испытаниях событие А наступит ровно раз, определяется по формуле Бернулли

, где .

На практике формулой Бернулли удобно пользоваться, если не очень велико. Из условия задачи имеем, что n = 6, m = 4, p = 0,8, q = 1-0,8 = 0,2. Тогда, применяя формулу Бернулли, получаем:

.

4.В партии, содержащей 10 деталей, имеется 6 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Построить ряд распределения дискретной случайной величины – числа стандартных деталей среди двух отобранных. Вычислить , , .

Решение. Ряд распределения для дискретной случайной величины имеет вид:

 

xi x 1 x 2 x 3 xn
pi p 1 р 2 р 3 рn

 

– возможные значения случайной величины ,

–вероятности, с которыми СВ принимает эти значения.

В данной задаче СВ ‑ число стандартных деталей среди двух отобранных. Стандартных деталей может не быть ни одной (т.е. значение СВ 0), одна или две. Таким образом, возможные значения СВ 0, 1, 2. Вычислим вероятности, с которыми СВ принимает эти значения. Воспользуемся классическим определением вероятности. Среди двух выбранных двух деталей 0 стандартных означает, что две детали выбраны из 4 имеющихся нестандартных. Всего таких возможностей . Всего способов выбрать две детали из 10 имеющихся . Таким образом,

 

Среди двух выбранных двух деталей 1 стандартная означает, что одна деталь выбрана из 6 имеющихся стандартных и одна деталь выбрана из 4 имеющихся нестандартных. Всего таких возможностей . Всего способов выбрать две детали из 10 имеющихся . Таким образом,

 

.

Среди двух выбранных двух деталей 2 стандартные означает, что две детали выбраны из 6 имеющихся стандартных. Всего таких возможностей . Всего способов выбрать две детали из 10 имеющихся . Таким образом,

 

.

Сумма вероятностей должна быть равна 1. Действительно, .

Получим ряд распределения:

 

xi      
pi

 

Вычислим числовые характеристики рассматриваемой дискретной случайной величины.

Математическим ожиданием случайной величины называется ее среднее значение, вычисляемое по формулам:

– для дискретной случайной величины,

– для непрерывной случайной величины.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения:

.

Дисперсия вычисляется по формулам:

– для дискретной случайной величины,

– для непрерывной случайной величины.

Средним квадратическим отклонением (с.к.о.) случайной величины называется корень квадратный из дисперсии:

В данной задаче

.

Дисперсия

 

.

 

Среднее квадратическое отклонение

5. Задана функция распределения

 

Найти плотность распределения, построить графики функции распределения и плотности, найти

Решение. Для нахождения плотности распределения воспользуемся формулой . Получим

Графики функций и имеют вид:

 

Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , находят по формуле:

В данной задаче

 

 

6.Двумерная случайная величина распределена по закону

 

Х \ Y    
  0,15 0,3
  0,06 0,1
  0,25 0,03
  0,04 0,07

Найти распределения случайных величин и , условное распределение случайной величины при условии, что . Вычислить ковариацию. Исследовать зависимость СВ и .

Решение. Зная матрицу распределения системы двух СВ, можно легко найди ряды распределения составляющих величин. Нужно сложить вероятности в таблице по строкам и столбцам:

 

, ,

, .

Таким образом, СВ и распределены следующим образом:

Случайная величина принимает значения 1, 3, 4, 8 с вероятностями

Распределение СВ имеет вид

 

       
0,45 0,16 0,28 0,11

 

Случайная величина принимает значения 3, 6 с вероятностями

Распределение СВ имеет вид

 

   
0,5 0,5

 

Зная закон распределения двумерной дискретной СВ, можно вычислить условные законы распределения составляющих. Для СВ условные вероятности вычисляют по формулам:

.

Аналогично для составляющей :

 

.

Сумма вероятностей условного распределения равна 1.

Найдем условное распределение случайной величины при условии, что . Эта СВ принимает значения 3 и 6. Найдем условные вероятности при условии

 

Получим условное распределение

 

   

 

Ковариация – это числовая характеристика системы СВ. Ее вычисляют по формуле

 

.

 

Ковариацию можно также представить в виде:

 

.

 

Для дискретных СВ формула имеет вид:

 

 

Вычислим ковариацию

 

Исследуем вопрос о зависимости случайных величин. Можно использовать следующие свойства:

1) Ковариация двух независимых СВ равна 0. Следовательно, если она не равна нулю, то случайные величины зависимы. В данной задаче ковариация отлична от нуля, а значит, случайные величины зависимы.

2) Если и ‑ независимые СВ, то каждый элемент матрицы равен произведению соответствующих элементов рядов распределения СВ и : .Если последнее равенство не выполнено, то случайные величины зависимы. Проверим выполнение этого условия в нашей задаче: , следовательно, случайные величины зависимы. Для того, чтобы установить независимость СВ, нужно проверить выполнение свойства для всех пар вероятностей.

3) Если условные и безусловные распределения случайных величин, входящих в систему, совпадают, то случайные величины независимы. В противном случае они зависимы. В данной задаче распределение СВ (безусловное распределение) не совпадает с условным распределением СВ при условии, что , следовательно, случайные величины зависимы.

7. СВ имеет нормальное распределение с известным с.к.о. . Найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания по выборочной средней , если объем выборки и задана надежность оценки .

Решение. Найдем из условия или . По таблице значений функции Лапласа . Точность оценки . Доверительный интервал имеет вид . Для получаем доверительный интервал .

8. На основании данных о среднемесячной заработной плате и числе уволившихся за год работников на 6 однотипных предприятиях с одинаковым числом работников построить уравнение линейной регрессии на и найти выборочный коэффициент корреляции. Проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции при уровне значимости

Среднемесячная зарплата (млн. руб.) 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
Число уволившихся работников (чел.)            

 

Решение. Решим задачу двумя способами:

1-й способ: Уравнение линейной регрессии имеет вид:

 

.

 

Для нахождения коэффициентов вычислим

 

, ,

 

, ,

 

.

 

Коэффициенты находим по формулам:

 

,

 

.

 

Получим уравнение линейной регрессии на :

 

.

 

2-й способ. Воспользуемся уравнением линейной регрессии в виде:

 

.

 

По данным выборки вычислим выборочные средние

 

,

 

выборочные средние квадратические отклонения

 

 

а также выборочный коэффициент корреляции

 

.

 

Подставим найденные значения параметров в указанное выше уравнение, получим

 

.

 

После несложных преобразований получим уравнение в виде:

 

.

 

Ответ: уравнение линейной регрессии на имеет вид: , выборочный коэффициент корреляции .

Решим следующую задачу: при заданном уровне значимости проверить гипотезу (коэффициент корреляции генеральной совокупности равен 0) при альтернативной гипотезе . Если нулевая гипотеза отвергается, то это означает, что выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля (кратко говоря, значим), а случайные величины и коррелированны и связаны линейной зависимостью.

Если нулевая гипотеза будет принята, то выборочный коэффициент корреляции незначим, а случайные величины и не коррелированны.

Вычислим наблюдаемое значение критерия

 

.

Поскольку альтернативная гипотеза имеет вид , то критическая область двусторонняя.

По и числу степеней свободы находим по таблице критических точек распределения Стьюдента . Поскольку , то гипотезу отвергаем, т.е. коэффициент корреляции значимо отличается от нуля (другими словами, значим), следовательно, случайные величины и коррелированны.


Дата добавления: 2015-09-03; просмотров: 71 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Суть неокейсианского учения| Тейт Черный Кречет

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.049 сек.)