Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Читайте также:
  1. A - нормальный синусный ритм. Б - синусовая тахикардия. В - синусовая брадикардия
  2. D. Відбуваються нормально
  3. III. Причины «ненормальной» смертности и меры борьбы с нею
  4. Quot;Нормальной" сексуальности не существует
  5. Q]3:1: Написать уравнение плоскости проходящей через точку и имеющей нормальный вектор .
  6. Атриовентрикулярная блокада второй степени с нормальными комплексами QRS
  7. В) во сколько раз нормальное напряжение должно быть больше касательного;

 

Если на поверхности через точку М на ней провести всевозможные кривые и к ним в этой точке провести касательные прямые (они называются касательными к поверхности), то окажется, что все эти касательные лежат в одной плоскости, которая называется касательной плоскостью к поверхности в точке М, а перпендикуляр к касательной плоскости, восстановленный к ней в точке касания М, называется нормалью к поверхности.

1. Если поверхность заданна уравнением z=f(x,y), разрешенным относительно z (т.е. в явной форме), а точка касания М имеет координаты (x0, y0, z0), то уравнение касательной плоскости записывается так:

(1)

а нормаль к поверхности в точке М определяется уравнением

 

(2)

Символы и означают, что производные функции z=f(x,y) вычислены при значениях х=х0,, у=у0,.

2. Если поверхность определена уравнением f(x, y, z)=0, неразрешенным относительно z (уравнение поверхности задано в неявной форме), а точка касания имеет координаты (x0, y0, z0), то касательная плоскость определяется уравнением

(3)

а нормаль к поверхности в точке М(x0, y0, z0)

(4)

Символы , , означают частные производные функции f(x, y, z), вычисленные для значений х=х0,, у=у0, z=z0,.

Пример 1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z=x2+3y2 в точке, для которой x=1; y=1.

Решение. Прежде всего определим аппликату точки касания: z(1,1)=12+3∙12=4. Итак, точка касания имеет координаты (1, 1, 4), т.е. х0=1; у0=1; z0=4. Так как уравнение поверхности разрешено относительно z, то касательная плоскость и нормаль определяются уравнениями (1) и (2). Определяем частные производные функции z: Вычислим теперь значения частных производных в точке касания:

Подставляя эти значения и координаты точки касания в уравнения (1) и (2) получим уравнение касательной плоскости z-4=2(x-1)+6(y-1), или 2х+6y-z-4=0. Уравнение нормали

Пример 2. Определить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x2+y2+z2-4x+6y-8z-1=0 в точке М(1,2,2).

 

Решение. Здесь уравнение поверхности задано в неявной форме (оно не разрешено относительно z), а потому касательная плоскость и нормаль к поверхности определяются уравнениями (3) и (4). Обозначим левую часть уравнения поверхности через f(x, y, z), найдем частные производные этой функции и их значения в точке касания М:

, , ,

f(x, y, z)=x2+y2+z2-4x+6y-8z-1;

Подставляя найденные значения частных производных и координаты точек касания в уравнения (3) и (4), получим уравнения касательной плоскости

-2(х-1)+10(у-2)-4(z-2)=0, или 2x-10y+4z+10=0;

уравнение нормали

Пример 3. К поверхности х2+3y2+z2=1 провести касательную плоскость, параллельную плоскости 2x+4y+z=0.

Решение. Запишем уравнение поверхности в виде f(x, y, z)= х2+3y2+z2-1=0. Обозначим координаты точки касания М через . Определим значения частных производных функции f(x, y, z) в этой точке:

Уравнение касательной плоскости запишется в виде

 

 

2x0(x-x0)+6y0(y-y0)+2z0(z-z0)=0, и задача сводится к определению координат точки касания: .

Из условия параллельности касательной плоскости и заданной в задаче плоскости 2x+4y+z=0 следует, что Обозначая каждое из этих отношений через k, получим: x0=k; ;

Так как точка М(x0, y0, z0)-точка касания, то ее координаты удовлетворяют уравнению заданной поверхности, а потому

36k2+16k2+9k2=1;

Подставляя эти значения в уравнение касательной плоскости, получим

Таким образом, оказалось, что условию задачи удовлетворяют две плоскости.

 

ВАРИАНТ 1

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3.
Найти производную сложной функции.

.

4.
Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области D .

 

6. Найти точки условного экстремума функции.

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

 

 

8. Найти производную функции Z(x,y) в точке М в направлении:

а) градиента;

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 2

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции.

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной
точке .

 

8. Найти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента;

б) указанного вектора

 

 

ВАРИАНТ 3

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

 

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

 

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

 

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

 

8. Найти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора .

ВАРИАНТ 4

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

 

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

 

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

 

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

 

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

 

8. Найти производную функции Z(x,y ) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора .

ВАРИАНТ 5

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

 

 

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области

 

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

 

8. Найти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора .

ВАРИАНТ 6

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

 

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Найти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

 

ВАРИАНТ 7

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

 

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

 

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

 

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

 

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

 

8. Найти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 8

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

 

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

 

3. Найти производную сложной функции.

 

4. Найти экстремум функции.

 

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

 

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Найти производную функции Z(x,y) в

 

 

точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

 

ВАРИАНТ 9

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

 

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y)

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

 

 

8. Найти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

 

 

ВАРИАНТ 10

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

 

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

 

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

 

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

 

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Найти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора .

 

ВАРИАНТ 11

 

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

 

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

 

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

 

ВАРИАНТ 12

 

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

 

 

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

 

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

 

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

 

ВАРИАНТ 13

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

 

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

 

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

 

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

 

 

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 14

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

 

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

 

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

 

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

 

а) градиента,

б) указанного вектора

 

 

ВАРИАНТ 15

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

 

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

 

 

 

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

 

 

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

 

ВАРИАНТ 16

 

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

 

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 17

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

 

 

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

 

 

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

 

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

 

 

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 18

 

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

 

4. Найти экстремум функции.

 

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 19

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

 

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

 

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

 

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

 

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

 

 

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 20

 

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

 

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

 

ВАРИАНТ 21

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

;

 

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

 

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

 

 

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

 

ВАРИАНТ 22

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

 

4. Найти экстремум функции.

;

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

 

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 23

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

 

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

;

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

 

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

 

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке, М (0;5;1);.

 

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 24

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

 

 

4. Найти экстремум функции.

;

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной замкнутой области .

6. Найти точки условного экстремума функции Z(x,y) .

 

7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .

 

 

8. Hайти производную функции Z(x,y) в точке в направлении:

а) градиента,

б) указанного вектора

ВАРИАНТ 25

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функции.

2. Показать, что заданная функция Z(x,y) удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти производную сложной функции.

4. Найти экстремум функции.

 

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z(x,y) в заданной за


Дата добавления: 2015-08-13; просмотров: 109 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Функции двух переменных. | Замечание | Теорема | Экстремумы функций нескольких переменных | Правило определения экстремума функции двух независимых переменных | Отыскание наибольших и наименьших значений функции двух независимых переменных в замкнутой области. | Метод множителей Лагранжа. | Метод множителей Лагранжа. | Производная по направлению | Замечание 2 |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Решение.| В метрическом пространстве

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.194 сек.)