Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теорема

Читайте также:
  1. В. ТЕОРЕМА ГЕДЕЛЯ
  2. Великая теорема Ферма
  3. ДУВП. Задача Коши. Теорема Коши-Пикара. Теорема Пеано. Краевая задача.
  4. Интегральная теорема Лапласа.
  5. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
  6. ЛОСДУ с ПостК. Метод Эйлера построения ФСР. Случай комплексных и кратных корней характеристического уравнения. Теорема об интегрируемости.
  7. Основная теорема зацепления

Если функции x(t), y(t) дифференцируем ы в точке t, а z=f(x,y) дифференцируема в точке (x,y), где x=x(t), y=y(t) то сложная функция z=f(x(t), y(t)) также дифференцируема в точке t, причем

(0)

в этой точке.

Доказательство

Пусть приращению Dt переменной t в данной точке t соответствует приращения Dx и Dy переменных х и у:

Dx=x(t+Dt)-x(t) (1)

Dy=y(t+Dt)-y(t)

Приращениям Dx и Dy переменных х и у соответствует приращение функции Dz: Dz= f (x+Dx, y+Dy)- f (x,y)

Т. к. эта функция дифференцируема в точке (x,y), где x=x(t), y=y(t), то

Dz= (x,y)Dx+ (x,y)Dy+a1 Dx+a2Dy, (2)

Где: a1 и a2 -бесконечно малые при Dx

Разделим на Dt

 

(3)

Перейдем к пределу при Dt

По условию x(t) и y(t) дифференцируемы в точке t, т. е.

 

 

А если x(t) и y(t) дифференцируемы в точке t, то они непрерывны в этой точке, а значит если Dt , то Dx и как следует a1. , a2

Таким образом при Dt существует предел выражения, стоящего в правой части равенства (3), а следовательно существует

Причем

Или


Дата добавления: 2015-08-13; просмотров: 67 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Функции нескольких пере­менных | Понятие предела функции двух и более переменных | Частные производные | Дифференцируемость функции нескольких переменных | Необходимые условия дифференцируемости | Достаточные условия дифференцируемости. | Дифференциал | Замечание 2 | Функции двух переменных. | Правило определения экстремума функции двух независимых переменных |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Замечание| Экстремумы функций нескольких переменных

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)