Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Дифференцирование сложных функций

Читайте также:
  1. II. Описание трудовых функций, входящих в профессиональный стандарт
  2. VIII. Особенности ведения хозяйственной деятельности при передаче отдельных функций обеспечения территориального органа и учреждений
  3. А. Вспомогательные элементы для связи функций между собой
  4. А. Построение диаграмм функций полезности, предельных полезностей и кривых безразличия в Excel
  5. Азот; более вероятно образование азота в виде более сложных соединений (например, мочевины)
  6. Аргументы функций
  7. Б. Особенности нервного и гуморального механизмов регуляции функций организма.

 

Пусть где причем имеет непрерывные частные производные, функции имеют непрерывные производные, t – независимая переменная. Тогда производная сложной функции вычис­ляется по формуле

(18.9)

Пусть и где x – независимая переменная, причем функция имеет непрерывные частные производные, – непрерывную производную. Тогда справедлива формула полной производной функции z по x:

(18.10)

Пусть и причем функция имеет непрерывные частые производные по x и y, а функции имеют непрерывные частные производные по u и v. Тогда частные производные функции z по u и v находят по формулам:

(18.11)

Формулы (18.9)–(18.11) обобщаются на любое конечное количество переменных (зависимых и независимых).

 

Пример 1. Найти двумя способами (свести к функции одной переменной t и по формуле (18.9)), если где

Решение. 1-й способ. Подставив вместо x, y заданные выражения, получим: – функцию одной переменной t. Тогда

2-й способ. Найдем частные производные по x и y функции z:

Вычисляем производные функций и

По формуле (18.9) получаем:

Заменив x и y их выражениями через t, получим:

 

Пример 2. Вычислить в точке если

где

Решение. Находим частные производные заданной функции

Вычисляем

По формуле (18.9) получаем:

Делаем замену переменных:

Вычислим значение в точке

 

Пример 3. Вычислить различными способами функции где

Решение. 1-й способ. Используем метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем равенство, задающее функцию:

или

Дифференцируем по полученное равенство, считая

Подставляя вместо z и y заданные выражения из условия, получаем:

2-й способ. Найдем частные производные:

Вычисляем производную функции у:

Теперь по формуле (18.10) получаем:

или

 

Пример 4. Найти функции если

Решение. Используя формулу (18.11), найдем частные производные:

По формуле (18.11) получим:

или

Заметим, что этот пример можно решать и вторым способом – вначале подставить вместо x, y их выражения через u, v, а затем – найти частные производные по u, v.

 

Пример 5. Найти функции где при

Решение. 1-й способ. Подставив в исходную функцию получим функцию одной переменной:

Дифференцируем по x:

2-й способ. Найдем частные производные:

а также производные:

По формуле (18.10) получаем:

После замены переменных получим:

Пришли к такому же аналитическому выражению для что и в первом способе решения.

Вычислим в точке

 


Дата добавления: 2015-08-13; просмотров: 98 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Многих переменных | Задания | Первого порядка | Касательная плоскость и нормаль к поверхности | Задания | Высших порядков | Производная по направлению. Градиент | Экстремумы функций двух переменных | III уровень |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Задания| Дифференцирование неявных функций

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)