Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Исследование устойчивости решений динамических систем с помощью функции Ляпунова.

Читайте также:
  1. A)бронхоскопию с цитологическим исследованием промывных вод
  2. II. Государственная система профессиональной ориентации и психологической поддержки населения в Российской Федерации.
  3. II. Методические основы проведения занятий по экологическим дисциплинам в системе высшего профессионального образования
  4. II. Основные функции отделения Фонда
  5. III. Выбор как система относительных сравнений
  6. III. Танец-отражение музыки с помощью движения. Принципы движений хип-хоп-аэробики.
  7. III. Функции и организация работы аттестационной комиссии

, (1) – динамическая система.

Пусть выполняются условия теоремы Коши-Пикара, рассмотрим решение и запишем систему для возмущения: (3), где . Рассмотрим в области функцию . Она обладает свойствами: 1) непрерывности в ; 2) непрерывной дифференцируемости в ; 3) .

Функция - знакопостоянная в , если она не меняет знака в . Функция - положительно строго определенная в , если при и . Функция - знакоопределенная в , если она знакопостоянная в и выполняется одно из условий: а) ; б) , где - непрерывная положительно определенная функция.

Знакопостоянная функция может принимать нулевые значения при .

Полной производной от функции по времени в силу системы (3) называется выражение .

I теорема Ляпунова: если система (3) допускает существование дифференцируемой знакоопределенной функции , для которой полная производная есть функция знакопостоянная знака, противоположного с или тождественно равная 0, то нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову.

Функция имеет бесконечно малый высший предел, если она при в окрестности 0 удовлетворяет условиям: 1) если хотя бы одно конечно, то тоже конечна (); 2) мала, если все малы ().

II теорема Ляпунова: если система (3) допускает существование дифференцируемой знакоопределенной функции , имеющей бесконечно малый высший предел, для которой полная производная есть функция знакопостоянная знака, противоположного с , то нулевое решение является асимптотически устойчивым.

III теорема Ляпунова: если система (3) допускает существование дифференцируемой знакоопределенной функции , имеющей бесконечно малый высший предел, для которой полная производная есть функция знакопостоянная одного знака с , то нулевое решение является неустойчивым.


49. Общие методы интегрирования СДУ. Метод сведения нормальной системы n ДУ к ДУ n -го порядка. Метод исключений.

Метод сведения нормальной системы n ДУ к ДУ n -го порядка.

Пусть все имеют непрерывные частные производные до порядка включительно по всем аргументам. Последовательно дифференцируем одно уравнение системы и исключаем все ДУ, кроме одного. Если в него подставить решение, то оно обратится в тождество.

, , …, . Исключим . Это возможно, т.к.

или - уравнение n -го порядка. Пусть оно решено и найдено решение , тогда

Метод исключений.

Используя особенности системы пытаются исключить какие-то переменные.

, , т.е. . , , ,


Дата добавления: 2015-08-09; просмотров: 113 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ЛОСДУ с ПостК. Т. Коши-Пикара. Метод Эйлера построения ФСР. Случай действительных различных корней характеристического уравнения. | ЛОСДУ с ПостК. Метод Эйлера построения ФСР. Случай комплексных и кратных корней характеристического уравнения. Теорема об интегрируемости. | ЛНСДУ. Т. о структуре общего решения. Некоторые свойства решений. Принцип суперпозиции. | ЛНСДУ с ПостК. | Динамическая интерпретация нормальной СОДУ. Фазовое пространство. Фазовая траектория. | Автономные и неавтономные динамические системы. Свойства решений автономных динамических систем (АДС). Фазовый портрет и бифуркации. | Виды траекторий АДС. Сравнение геометрической интерпретации АДС в фазовом и расширенном фазовом пространстве. | Устойчивость решений динамических систем. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Критерий Рауса-Гурвица. | Фазовая плоскость ЛОСДУ 2 порядка с ПостК. Состояние равновесия типа узел. | Фазовая плоскость ЛОСДУ 2 порядка с ПостК. Состояние равновесия типа фокус и центр. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Фазовая плоскость ЛОСДУ 2 порядка с ПостК. Состояние равновесия типа вырожденный узел и дикритический узел.| Теория интегралов нормальных СДУ. Интеграл. Первый интеграл. НиД условие первого интеграла. Общий интеграл. Решение задачи Коши при наличии общего интеграла.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)