Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Пространств

Читайте также:
  1. IV. Историческое пространство.
  2. IV. Историческое пространство.
  3. IV. Историческое пространство.
  4. IV. Историческое пространство.
  5. IV. Историческое пространство.
  6. IV. Историческое пространство.
  7. Q]3:1: Общие уравнения прямой в пространстве

Многие понятия теории метрических пространств (предел, предельная точка, точка прикосновения, замыкание множества, граница множества, непрерывность и т. д.) вводятся, опираясь на понятие окрестности или, что тоже самое, на понятие открытого множества. Понятие окрестность и открытое множество определяются с помощью метрики.

Можно стать на другой путь и, не вводя в данном множестве Х метрику, непосредственно определить в Х систему открытых множеств посредством введения аксиом.

Свойства открытых множеств метрического пространства принимаются в качестве аксиом. Этот путь приводит нас к топологическим пространствам, по отношению к которым метрические пространства представляют собой частный случай.

Определение 1. Пусть Х – непустое множество элементов произвольной природы, Ф = { } – семейство подмножеств множества Х, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. Само множество Х и пустое множество Æ принадлежат семейству Ф.

2. Объединение любого семейства множеств из Ф также принадлежит Ф.

3. Пересечение любых двух множеств из Ф также принадлежит Ф.

Тогда семейство Ф называется топологией или топологической структурой.

Пара (Х, Ф) или, другим словами, множество Х, в котором задана некоторая топология, называется топологическим пространством.

Элементы множества Х называются точками топологического пространства, элементы семейства Ф называются открытыми множествами в (Х, Ф).

Когда не может возникнуть недоразумений, разрешается просто писать: Х – топологическое пространство, G – открытое множество, то есть не указывать постоянно связь с топологией Ф.

Примеры топологических пространств.

Пример 1. Х – произвольное множество. Из аксиомы 1 топологического пространства вытекает, что среди открытых множеств любой топологической структуры в Х обязательно должны быть пустое множество Æ и само множество Х. Очевидно, что для семейства

Фт = {Æ, X},

которое состоит лишь из этих двух множеств, выполняются также и аксиомы 2 и 3.

Поэтому Фт = {Æ, X} является простейшей топологической структурой в Х. Эта топология называется тривиальной, а пара (Х, Ф) тривиальным топологическим пространством. Иногда эту пару называют антидискретным топологическим пространством.

Пример 2. Другой крайностью является так называемое дискретное топологическое пространство (Х, Фd), где Фd представляет собой семейство всех подмножеств множества Х. Очевидно, что и в этом случае все аксиомы 1 – 3 выполняются.

Пример 3. Двуточечное топологическое пространство:

Х = , Ф = {Æ, Х, }.

Проверить выполнение аксиом 1 – 3 самостоятельно.

Пример 4. Пусть Х = R3. Открытыми в Х множествами назовем только открытые шары U(r) с общим центром О и радиусом r, а также всё множество Х и пустое множество.

Очевидно, аксиома 1 выполняется.

Пусть {U(ra)} – любая система открытых множеств. Тогда их объединением будет шар с центром О и радиусом r = .

Если = ¥, то U(r) = X.

Следовательно, аксиома 2 выполняется.

Пересечением двух множеств U(r1) и U(r2) будет множество U(r), где r = , то есть аксиома 3 также выполняется.

Выделенное нами семейство открытых множеств является топологией в R3, которую иногда называют концентрической.

Пример 5. Пусть множество – квадрат, т.е. множество точек на плоскости, координаты которых связаны соотношениями и . Под открытыми множествами будем понимать пустое множество, множество , а также «полосы», т.е. множество точек , первые координаты которых связаны соотношением: , где . Будет ли топологическим пространством?

Решение.

По условию задачи имеем , где . Проверим, будет ли семейство удовлетворять трем аксиомам топологии. Первая из них выполняется по условию. Проверим вторую аксиому: , где .

Следовательно, вторая аксиома выполняется. Проверим третью аксиому:

, где .

Третья аксиома топологии выполнена. Следовательно, пара – топологическое пространство.

Пример 6. Пусть – бесконечное множество, и состоит из , и тех подмножеств , дополнения которых конечны. Доказать, что – топологическое пространство.

Доказательство. , где и – конечное множество. Проверим, что совокупность множеств удовлетворяет трем аксиомам топологии. Первая из них выполняется тривиально. Для проверки второй и третьей аксиом воспользуемся формулами двойственности (де Моргана). Для проверки второй аксиомы получаем: – пересечении конечных множеств конечно, следовательно, , и вторая аксиома выполнена. Для проверки третьей аксиомы предположим, что и поэтому множества и конечные. Тогда также конечное множество, но оно равно и, таким образом, . Следовательно, - топологическое пространство.

 

Пример 7. Х = {0, 1, 2}, А = {0, 1}, B = {1, 2}, Ф = {Æ, X, A, B}.

Очевидно Ф – не является топологической структурой, так как

А ÇВ = {1} Ï Ф.

Примеры показывают, что в любом не пустом множестве Х можно ввести топологию. При этом в одном и том же множестве Х можно определить разные топологии и получить различные топологические пространства.

Определение 2. Пусть в множестве Х введены две топологии Ф1 и Ф2. Говорят, что Ф1 сильнее Ф2 (или Ф2 слабее Ф1 ), если Ф2 Ì Ф1, то есть любое множество из Ф2 принадлежит Ф1.

Очевидно, самой сильной топологией является дискретная топология, а самой слабой – тривиальная.

А вообще – две топологии на одном и том же множестве могут быть несравнимыми.


Дата добавления: 2015-08-13; просмотров: 75 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Понятие подпространства | Замкнутые множества | Внутренние, внешние и граничные точки | БАЗИС. АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ | Аксиома Хаусдорфа | КОМПАКТНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. СВЯЗНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ | Связность топологических пространств | Непрерывные отображения | Примеры непрерывных отображений | Топологические отображения |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ| Пример.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)