Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Свойства двойных интегралов

Читайте также:
  1. II. Свойства и особенности невидимых тел человека.
  2. А. ХАРАКТЕРНЫЕ СВОЙСТВА КАЖДОГО ОРГАНА
  3. Автономные и неавтономные динамические системы. Свойства решений автономных динамических систем (АДС). Фазовый портрет и бифуркации.
  4. Базисные свойства
  5. Билет 23. Магнитные свойства ферромагнетиков.
  6. ван – чай. Полезные свойства. Противопоказания
  7. ВЕНТИЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Часть свойств двойных интегралов непосредственно вытекает из определения этого понятия и свойств интегральных сумм, а именно:

1. Если функция f(x, y) интегрируема в D, то kf(x, y), где k = const,тоже интегрируема в этой области, причем

 

(4)

2. Если в области D интегрируемы функции f(x, y) и g(x, y), то в этой области интегрируемы и функции f(x, y) ± g(x, y), и при этом

 

(5)

3. Если для интегрируемых в области D функций f(x, y) и g(x, y) выполняется неравенство f(x, y)g(x, y), то

 

(6)

Докажем еще несколько свойств двойного интеграла:

4. Если область D разбита на две области D 1 и D 2 без общих внутренних точек и функция f(x, y) непрерывна в области D, то

(7) Доказательство. Интегральную сумму по области D можно представить в виде:

где разбиение области D проведено так, что граница между D 1 и D 2 состоит из границ частей разбиения. Переходя затем к пределу при , получим равенство (7).

5. В случае интегрируемости на D функции f(x, y) в этой области интегрируема и функция | f(x, y) |, и имеет место неравенство

(8)

Доказательство.

откуда с помощью предельного перехода при получаем неравенство (8).

6. где SD – площадь области D. Доказательство этого утверждения получим, подставляя в интегральную сумму f(x, y) ≡ 1.

7. Если интегрируемая в области D функция f(x, y) удовлетворяет неравенству

m ≤ f(x, y) ≤ M,

то (9)

Доказательство проводится предельным переходом из очевидного неравенства

8 (Теорема о среднем). Если функция f (х, у) непрерывна в замкнутой области D, то в этой области существует такая точка М (х0, у0), что

, (10)

или, что то же самое,

(10’)

Это выражение легко получить, разделив обе части неравенства (9) на SD.


Дата добавления: 2015-08-13; просмотров: 157 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Путем сведения его к повторному | В декартовых координатах | В трехмерном пространстве | Якобиан и его геометрический смысл |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Геометрический смысл двойного интеграла| Тройной интеграл

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)