Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Постановка задачи и основные определения

Читайте также:
  1. I. ОСНОВНЫЕ БОГОСЛОВСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
  2. I. Теоретический раздел. Основные принципы построения баз данных.
  3. I.2. Структура атмосферы. Основные источники ее загрязнения. Выбросы металлургического производства
  4. II. Basic ideas. Основные наброски темы.
  5. II. Basic ideas. Основные наброски темы.
  6. II. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ПРАКТИКИ
  7. II. Основные положения по организации практики

Здесь мы рассмотрим случаи, когда множество допустимых решений X задается равенствами и неравенствами, т. е.

где m и p — числа; f (х) — целевая функция, gj (x), j = 1, …, p — функции, задающие ограничения (условия).

Будем считать функции f (х); gj (x), j = 1, …, p дважды непрерывно дифференцируемыми на множестве Rn. При р = т задача (3.1) со смешанными ограничениями преобразуется в задачу с ограничениями типа равенств, а при т = 0 в задачу с ограничениями типа неравенств

Определение 3. 1. Функция

называется обобщенной функцией Лагранжа, числа λ0, λ1, …, λ рмножителями Лагранжа, λ = (λ1, …, λ р) T.

Классической функцией Лагранжа называется функция

Определение 3. 2. Градиентом обобщенной (классической) функции Лагранжа по х называется вектор-столбец, составленный из ее частных производных первого порядка по xi, i = 1, …, n:

Определение 3. 3. Вторым дифференциалом обобщенной (классической) функции Лагранжа L (x, λ0, λ) [ L (x, λ)] называется функция

Определение 3. 4. Первым дифференциалом ограничения gj (x) называется функция

Пример 3.1. Выписать функции (3.2) – (3.6) для задачи поиска условного экстремума функции на множестве X = { x | x 22– x 1+ 3 = 0}, заданном ограничением g 1(x) = x 22– x 1+ 3 = 0.

Обобщенная функция Лагранжа:

Классическая функция Лагранжа:

Градиент функций Лагранжа:

Второй дифференциал функций Лагранжа:

Первый дифференциал ограничения: dg 1(x) = – dx 1+ 2 x 2 dx 2.

Определение 3.5. Ограничение gj (x) ≤ 0 называется активным в точке х *, если gj (x *) = 0. Если gj (x *) < 0, то ограничение называется пассивным.

Определение 3. 6. Градиенты ограничений g 1(x), …, gm (x) являются линейно независимыми в точке х *, если равенство выполняется только при λ1= λ2= … = λ т = 0. Если существуют числа λ1, …, λ т одновременно не равные нулю, для которых равенство выполняется, то градиенты линейно зависимы. В этом случае один из них есть линейная комбинация остальных. Один вектор ∇ g 1(x *) тоже образует систему векторов: при ∇ g 1(x *) ≠ 0 линейно независимую, а при ∇ g 1(x *) = 0 линейно зависимую.

Система векторов, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима. Если то система векторов линейно независима. Если rang А < т, то система линейно зависима.


Дата добавления: 2015-08-03; просмотров: 183 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Замечания 1.1. | Замечания 1.2. | Замечания 1.3. | Замечания 1.5. | Стратегия решения задачи | Б. Критерий проверки необходимых условий экстремума второго порядка. | Алгоритм решения задачи | Необходимые и достаточные условия в задаче поиска условного экстремума при ограничениях типа равенств | Алгоритм решения задачи | Необходимые и достаточные условия второго порядка в задаче поиска условного экстремума при смешанных ограничениях |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Замечания 2.2.| Замечания 3.1.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)