Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Рядов с положительными членами. Как было отмечено раньше, аналитически вычислить значение суммы числового ряда

Читайте также:
  1. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов
  2. Аномалии соотношения зубных рядов
  3. Вычисление сумм знакопеременных рядов
  4. Вычисление сумм знакочередующихся рядов
  5. Гвардии рядовой Даутов
  6. Графические изображения рядов распределения
  7. Графическое изображение рядов распределения

Как было отмечено раньше, аналитически вычислить значение суммы числового ряда удается только лишь в исключительных случаях. В остальных же случаях сумму ряда приходиться находить приближенно, убедившись предварительно в сходимости этого ряда.

Итак, требуется найти сумму сходящегося числового ряда

. (3.4)

Точное значение суммы этого ряда на практике приближенно заменяется конечной суммой

первых членов данного ряда, то есть n -й частичной суммой рассматриваемого ряда (3.4). При этом абсолютная ошибка такой приближенной замены определяется величиной модуля n -го остатка ряда , то есть

,

где

В зависимости от вида числового ряда используются те или оценки его остатка. Пусть ряд (3.4) является сходящимся знакоположительным рядом.

Мажорирующим рядом по отношению к ряду (3.4) называется сходящийся знакоположительный ряд

, (3.5)

все члены которого не меньше соответствующих членов ряда (3.4), а именно .

Остаток мажорирующего ряда (3.5) обозначим как , то есть

Тогда величину остатка сходящегося знакоположительного ряда (3.4) можно оценить на основании следующего утверждения: остаток знакоположительного ряда (3.4) не превосходит остатка мажорирующего ряда (3.5), то есть .

В качестве мажорирующего ряда выбирается сходящийся знакоположительный ряд, сумму которого можно подсчитать аналитически, например, ряд геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом :

. (3.6)

Для сходящихся знакоположительных рядов, члены которых монотонно убывают, начиная с (n + 1)-го члена, справедливы также следующие оценки остатка:

, (3.7)

, (3.8)

где - функция, монотонно убывающая на промежутке интегрирования и принимающая в точках значения .

Пример 3.5. С точностью 0,01 вычислить сумму ряда

Р е ш е н и е. Прежде всего убедимся в сходимости данного ряда, применив предельный признак Даламбера:

.

Затем для решения поставленной задачи необходимо определить число первых членов ряда, сумма которых будет равна искомой сумме ряда с заданной точностью, то есть когда остаток ряда не будет превосходить заданную точность вычислений .

В качестве мажорирующего ряда выберем сходящийся ряд геометрической прогрессии со знаменателем :

,

при этом нетрудно убедиться в том, что n -й член этого ряда не меньше n -го члена исходного ряда . Действительно, приведя выражения обоих этих членов к общему знаменателю, получим:

,

так как при любом натуральном .

Так как остаток исходного ряда не превосходит остатка мажорирующего ряда, то, применив формулу (3.6), подсчитаем его значения при некоторых и сопоставим с заданной точностью:

;

;

.

Таким образом, для вычисления суммы исходного ряда с заданной точностью требуется просуммировать пять первых членов этого ряда:

.

Задание 3.6. Оценить погрешность, получаемую при замене суммы ряда

суммой пятью его первыми членами.

Ответ: 0,00008.

Пример 3.6. Получить формулу для оценки n -го остатка ряда

.

Р е ш е н и е. Применив предельный признак Даламбера, сначала убедимся в сходимости данного ряда:

.

Затем, воспользовавшись оценкой (3.7), получим:

,

то есть .

Задание 3.7. С точностью 0,1 вычислить сумму ряда Дирихле

.

Ответ: .

 


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 94 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Его сходимости | Абсолютная и условная сходимости числовых рядов | Знакопеременных рядов | Вычисление сумм знакопеременных рядов |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Сходимости знакопеременных рядов| Вычисление сумм знакочередующихся рядов

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)