Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Ноль-мерныя множества. Мера Лебега множества рациональных чисел и Канторова совершенного множества.

Читайте также:
  1. Алгоритм вычитания многозначных чисел в десятичной системе счисления.
  2. Алгоритм деления многозначных чисел в десятичной системе счисления.
  3. Алгоритм сложения многозначных чисел в десятичной системе счисления.
  4. Алгоритм умножения многозначных чисел в десятичной системе счисления.
  5. БОГ ИЗ МАШИНЫ МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАНИПУЛЯЦИИ МЕРОЙ
  6. Введення чисел.
  7. Генерирование последовательности случайных чисел с помощью ЭВМ

Определение1. Если внутренняя мера ограниченного множества А равна внешней мере множества А, то множество А называется измеримым по Лебегу, а общее значение внутренней и внешней мер называется мерой Лебега множества А и обозначается .

Определение 2. Если множество А измеримо по Лебегу и его мера Лебега равна нулю, то множество А называется нульмерным.

Примеры нульмерных множеств: конечное, ограниченное, счетное, множество Кантора.

Определение 3. Замкнутое множество, не имеющее изолированных точек, называется совершенным множеством.

Примерами совершенного множества являются , , R, Ø.

ТЕОРЕМА 4. Непустое ограниченное совершенное множество есть или отрезок, или получается из отрезка вычитанием конечного или счетного множества взаимно непересекающихся интервалов, которые не имеют общих концов ни с друг с другом, ни с отрезком.

Интересным примером совершенного множества является множество Кантора. Рассмотрим его.

Разделим отрезок [0,1]= F точками и на три равные части и вычтем из отрезка F средний интервал (, ) = . Обозначим = = . Каждый из оставшихся отрезков опять разделим на три равные части и из каждого вычтем средний интервал, т.е. из вычтем множество Получим множество . Этот процесс продолжим неограниченно. В результате из отрезка F вычтем открытое множество , являющееся объединением счетного множества интервалов, которые попарно не пересекаются и не имеют общих концов ни с друг с другом, ни с отрезком F. Оставшееся множество называется множеством Кантора и обозначается P. По теореме 4. множество Кантора является совершенным.

ТЕОРЕМА 5. Множество Кантора имеет меру равную нулю: .

Определение 6. Пусть F - ограниченное замкнутое непустое множество, α=inf F, b=sup F; . Число называется мерой замкнутого множества F и обозначается .

Доказательство. Множество Кантора является ограниченным замкнутым множеством. Поэтому по определению меры замкнутого множества имеем .


Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 253 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Счетные множества. Теорема о существовании подмножества в бесконечном множестве | Счетность множества рациональных чисел. | Определение и свойства измеримых функций | Мощность континуума и ее свойства. | Определение интеграла Лебега и его основные свойства | Полные метрические пространства |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Мера Лебега линейного ограниченного множества и ее свойства.| Сравнение интегралов Римана и Лебега.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)