Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Счетность множества рациональных чисел.

Читайте также:
  1. БОГ ИЗ МАШИНЫ МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАНИПУЛЯЦИИ МЕРОЙ
  2. Введення чисел.
  3. Глава 9. О существовании множества ложных или предполагаемых могил по всему миру
  4. Зондирование морфологического множества
  5. Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций
  6. Интегрирование рациональных функций
  7. Компактные множества в Еn.

ТЕОРЕМА 1. Множество Q всех рациональных чисел является счетным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала докажем, что счетным является множество Q+, т.е. множества всех положительных рациональных чисел. Рассмотрим множество всех дробей вида , где p=1, 2, 3,..., q=1, 2, 3,.... Это множество является объединением счетного множество следующих счетных множеств:

{ },

{ },

{ },

.......

Поэтому по теореме: Объединение счетного множество счетных множеств, есть счетное, множество всех дробей рассмотренного вида является счетным, т.е. счетным является Q+. Рассмотрим теперь множество Q- (множество всех отрицательных рациональных чисел). Оно также является счетным, ведь эквивалентное множеству Q+. Когда теперь учесть, что Q=Q+ÈQÈ{0},и использовать след. теоремы: Объединение конечного числа счетных множеств является счетным множествам, Объединение конечного множества и множество счетного есть множество счетное, то получим, что множество Q будет счетным.

ИТОГ. Множество всех рациональных чисел, которые принадлежать любому отрезку, является счетным.

ТЕОРЕМА 2. Когда множество А состоит из элементов , которые отличаются n значками х 1, х 2 ,... хn, каждый из которых независимо один от второго принимает счетное множество значений, то множество А является счетным

ИТОГ 1. Множество всех пунктов (х, у) плоскости, в которых обе координаты являются рациональными числами, будет счетным.

В общем случае множества всех пунктов n-мерной эвклидовой просторы с рациональными координатами будет счетным.

ИТОГ 2. Множество всех многочленов Р n (x)= a 0 xn + a 1 xn 1+...+ an с рациональными коэффициентами, является счетным.


Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 301 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Мощность континуума и ее свойства. | Мера Лебега линейного ограниченного множества и ее свойства. | Ноль-мерныя множества. Мера Лебега множества рациональных чисел и Канторова совершенного множества. | Сравнение интегралов Римана и Лебега. | Определение интеграла Лебега и его основные свойства | Полные метрические пространства |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Счетные множества. Теорема о существовании подмножества в бесконечном множестве| Определение и свойства измеримых функций

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)