Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Якщо за умов (25) другий диференціал є невизначеною квадратичною формою, то в точці умовного екстремуму немає.

Читайте также:
  1. Другий місяць
  2. Другий період схоластики.
  3. Другий рівень кредитної системи
  4. Другий розділ
  5. Другий розділ ДІВЧИНА 1 страница
  6. Другий розділ ДІВЧИНА 2 страница
  7. Другий розділ ДІВЧИНА 3 страница

Доведення. Припустимо існування і неперервність інших по-
хідних для функцій f і . Нехай тепер точка разом із множниками задовольняє сфор­мульовані раніше необхідні умови.

Висновок про існування в цій точці (відносного) екстремуму залежить від знака різниці

,

з тим лише істотним застереженням, що і точка задовольняє рівняння зв’язку (19). Легко зрозуміти, що для таких точок приріст функції f можна замінити на приріст функції L (де всі множники ми вважаємо такими, що дорівнюють ):

.

Оскільки в точці виконуються умови (24) — у цьому й полягає сенс переходу до функції L, — зазначений приріст можна записати за формулою Тейлора:

,

де

,

і , якщо (останні прирости при цьому самі собою будуть нескінченно малими згідно з неперервністю функцій (21)).

Якщо замінити тут усі прирости відповідними диференціалами , то стосовно незалежних змінних нічого не зміниться. Що ж до залежних змінних, то така заміна зумовлює лише необхідність узяти замість коефіцієнтів інші нескінченно малі :

.

Перехід до диференціалів зручний, оскільки диференціали залежних і незалежних змінних пов’язані системою лінійних співвідношень. З огляду на те, що визначник системи (20) у точці , за припущенням, — не нуль, то залежні диференціали можна лінійно подати через незалежні. Підставивши їх вирази у D, замість першої суми дістанемо квадратичну форму відносно диференціалів .

А тепер можна показати, що коли ця форма буде визначеною і притому додатною (від’ємною), то в досліджуваній точці досягатиметься відносний мінімум (максимум), а якщо форма невизначена, то відносного екстремуму немає.

Знайти умовний екстремум функції відносно рівняння зв’язку .

● Функції u і j двічі неперервно диференційовні. Ранг матриці Якобі (17) в даному разі дорівнює 1 у всіх точках, що задовольняють рівняння зв’язку. Отже, можна скористатися методом Лагранжа. Запишемо функцію Лагранжа

.

Згідно з необхідними умовами (18), (19) дістанемо систему

з якої знайдемо , при і , при . Отже, функція u може мати умовний екстремум лише у двох точках: і . Обчислимо другий диференціал функції Лагранжа:

; , ,

звідки .

Знайдемо перший диференціал функції j: У точ­ках і диференціали і , пов’язані рівністю:

, або .

У разі виконання цієї умови другий диференціал функції Лагранжа в точці є додатно визначеною квадратичною формою

,

а в точці — від’ємно визначеною формою

.

Отже, функція u в точці має умовний мінімум, а в точці — умовний максимум.


Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 72 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Понятие ходатайств в уголовном судопроизводстве | Процессуальный порядок заявления, рассмотрения и разрешения ходатайств | Процессуальный порядок подачи, рассмотрения и разрешения жалоб | Протокол № _8___ | Теорема 1.20. Для точки екстремуму функ­ції частинні похідні або дорівнюють нулю, або не існують. | Нагадаємо, що у вищій алгебрі квадратичну форму | Отже, якщо | Не є точкою екстремуму, якщо | Вирівнювання за допомогою параболи | Найбільше та найменше значення функції багатьох змінних |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Поняття умовного екстремуму| Метод найменших квадратів

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)