Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

III. Отрицание высказываний

Читайте также:
  1. Г5. Раздельно: отрицание двух противоположных признаков.
  2. Когда-то, где-то ты пришел к идее о том, что отказывать себе в радости — угодно Богу, что не радоваться жизни — это божественно. Отрицание, сказал ты себе, — это хорошо.
  3. Конструктивные исчисления высказываний В. И. Гливенко и А. Н. Колмогорова
  4. Логическое отрицание (булево отрицание НЕ)
  5. Отрицание Negation
  6. Отрицание адекватности рациональных реконструкций истории науки Полом Карлом Фейерабендом. (неадекватная эпистология)

Лекция. ТОМ.

Конъюнкция и дизъюнкция высказываний, законы этих операций (с доказательством). Отрицание элементарных и составных высказываний. Законы де Моргана.

Опр.1. Конъюнкцией двух высказываний α и β называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания α и β.

Конъюнкцию будем обозначать символом α /\ β и читать «α и β». Определение конъюнкции можно записать в виде таблицы истинности:

α β α /\ β
и и и
и л л
л и л
л л л

 

Примеры:«Число 4 ∶2 и 4 – составное число»(И) «Число 4 ∶2, и 4 – простое число»(Л)  

Законы конъюнкции

1. Коммутативный закон конъюнкции: α /\ ββ /\ α

док-во

α β α /\ β β /\ α
и и и и
и л л л
л и л л
л л л л

Значения истинности в 3-й и 4-ой колонках совпали, значит закон выполняется.

1. Ассоциативный закон конъюнкции:

(α /\ β) /\ gα /\ (β /\ g)

док-во

α β g α /\ β (α /\ β) /\ g β /\ g α /\ (β /\ g)
и и и и и и и
и и л и л л л
и л и л л л л
л и и л л и л
и л л л л л л
л и л л л л л
л л и л л л л
л л л л л л л

II. Дизъюнкция высказываний

Опр 1. Дизъюнкцией двух высказываний α и β называ­ется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний α или β. Другими словами, дизъюнкция ложна тогда и только тогда, ко­гда ложны оба высказывания α и β, и истинна во всех остальных случаях.

Дизъюнкцию будем обозначать символом α V β и читать «α или β». Определение дизъюнкции можно записать в виде таблицы истинности:

α β α V β
и и и
и л и
л и и
л л л

 

Примеры:«Число 4 ∶2 или 4 – составное число»(И) «Число 4 ∶2 или 4 – простое число»(И) «Число 4 ∶3 или 4 – простое число»(Л)  

Законы дизъюнкции

1. Коммутативный закон дизъюнкции: α V β ≡ β V α

док-во

α β α V β β V α
и и и и
и л и и
л и и и
л л л л

Значения истинности в 3-й и 4-ой колонках совпали, значит закон выполняется.

1. Ассоциативный закон дизъюнкции:

(α V β) Vgα V (β V g)

док-во

α β g α V β (α V β) V g β V g α V (β Vg)
и и и и и и и
и и л и и и и
и л и и и и и
л и и и и и и
и л л и и л и
л и л и и и и
л л и л и и и
л л л л л л л

Конъюнкция и дизъюнкция высказываний связаны дистрибутивными законами.

Дистрибутивный закон конъюнкции относительно дизъюнкции: для любых трех высказываний α, β и g верно

(α V β) /\ g(α /\ g) V(β /\ g)

Доказать закон можно с помощью таблицы истинности

α β g α V β (α V β) /\ g α /\ g β /\ g (α /\ g) V(β /\ g)
и и и и и и и и
и и л и л л л л
и л и и и и л и
л и и и и л и и
и л л и л л л л
л и л и л л л л
л л и л л л л л
л л л л л л л л

Значения истинности в 5-й и 8-ой колонках совпали, значит закон выполняется.

Дистрибутивный закон дизъюнкции относительно конъюнкции: для любых трех высказываний α, β и g верно

(α /\ β) V g(α V g) /\ (β V g)

Доказать закон можно с помощью таблицы истинности

α β g α /\ β (α /\ β) V g α V g β V g (α V g) /\ (β V g)
и и и и и и и и
и и л и и и и и
и л и л и и и и
л и и л и и и и
и л л л л и л л
л и л л л л и л
л л и л и и и и
л л л л л л л л

Значения истинности в 5-й и 8-ой колонках совпали, значит закон выполняется.

III. Отрицание высказываний

Опр. 1. Отрицанием некоторого высказывания α называется такое высказывание, которое истинно, когда α ложно, и ложно, когда α истинно.

Обозначают отрицание высказывания α символом , читают «не α» или «неверно, что α ». Определение отрицания можно записать в виде таблицыистинности.

и л
л и

Примеры: : «Число 4 2»; : «Неверно, что число 4 2» или : «Число 4 не делится на 2»

Опр. 2. Отрицание отрицания называетсядвойным отрицанием.

Обозначается двойное отрицание двумя чертами: . Двойное отрицание равносильно высказыванию : . Это утверждение можно доказать с помощью таблицы истинности:

и л и
л и л

Отрицание составных высказываний подчиняется законам де Моргана

Первый закон де Моргана: Отрицание конъюнкциидвух высказываний α и β равносильно дизъюнкции их отрицаний:

α /\ βα V β

док-во

α β α β α /\ β α /\ β α V β
и и л л и л л
и л л и л и и
л и и л л и и
л л и и л и и

Второй закон де Моргана: Отрицание дизъюнкции двух высказываний α и β равносильно конъюнкции их отрицаний:

α V βα /\ β

док-во

α β α β α V β α V β α /\ β
и и л л и л л
и л л и и л л
л и и л и л л
л л и и л и и

 


Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 164 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
ДОКЛАД НА ОБЩЕМ СОБРАНИИ ТОВАРИЩЕСТВА МХТ| Работа со схемой

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)