Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Применение метода в задаче с ограничениями типа равенств.

Читайте также:
  1. II.1 Основные указания о последовательности и методах производства работ.
  2. А, ну… В таком случае, я полагаю, вы отлично справитесь со своей задачей. Кстати, зовут меня Аманитус. А по роду деятельности я придворный писец!
  3. А. Нормативное применение теории рационального выбора
  4. А. Общие сведения о стратиграфических методах; стратиграфические корелляции: понятия в осадконакоплении и поверхностях размыва.
  5. А.3. Применение производственных инструкций
  6. Алгоритм 2.36. Доступ к информации о задаче
  7. Алгоритм 3.6. Назначение ресурса задаче

Стратегия поиска решения задачи методом проекции градиента состоит в построении последовательности точек , вычисляемых по правилу

,

где есть вектор, вычисляемый для каждого значения k. Приращение определяется из условия проекции вектора , на аппроксимирующую плоскость, задаваемую уравнением

,

которая аппроксимирует в точке , поверхность Г, задаваемую уравнениями . Здесь - матрица размера вида

,

а - вектор столбец, .

На рисунке 4.1 в точке построена аппроксимирующая прямая для задачи .

Её уравнение , т.к ; и, следовательно, .

Вектор определяется по формуле

,

где называется градиентной составляющей приращения; она равна

и обладает следующим свойством: градиентная составляющая приращения в линейном приближении не меняет вектор невязки условий связи. Это означает, что под действием градиентной составляющей точка движется параллельно или по плоскости (рисунок 4.1). Составляющая называется компенсационной составляющей приращения и равна . Эта составляющая обладает, в линейном приближении, свойством компенсировать вектор невязки условий связи на величину . Под действием составляющей осуществляется проекция точки на плоскость (рисунок 4.1).

Рисунок 4.1

Величина шага может выбираться как из условия убывания при переходе из точки в точку , так и из условия

. (4.1)

Задача (4.1) может решаться либо с использованием необходимых и достаточных условий минимума: , применяемых непосредственно к функции или к аппроксимирующим её полиномам, либо с использованием численных методов.

Расчёт заканчивается в точке , в которой ,, где - заданное число. В полученной точке требуется обязательная проверка выполнения достаточных условий минимума функции в исходной задаче. Точное равенство свидетельствует о точном выполнении необходимых условий экстремума, при этом вектор множителей Лагранжа определяется по формуле

.

Знание приближения вектора позволит осуществить проверку достаточных условий в точке .

Замечание:

Если в исходной задаче ограничения линейны, т.е. имеют вид , то матрица A постоянна. Это означает, что в силу свойства компенсационной составляющей она вычисляется единственный раз в точке . При этом начальная точка попадает в область допустимых решений за одну итерацию. Дальнейший процесс построения последовательности связан с вычислением составляющей .

Алгоритм:

Шаг 1. Задать начальную точку число итераций M.

Шаг 2. Положить k =0.

Шаг 3. Проверить условие :

а) если неравенство выполняется, то расчет окончен. Вычислить , проверить необходимые и достаточные условия минимума и оценить результат;

б) если нет, перейти к шагу 4.

Шаг 4. Вычислить матрицу

.

Шаг 5. Вычислить .

Шаг 6. Вычислить .

Шаг 7. Вычислить .

Шаг 8. Вычислить .

Шаг 9. Вычислить .

Шаг 10. Проверить выполнение условий :

а) если , то расчет окончен. Вычислить , проверить необходимые и достаточные условия минимума и оценить результат;

б) если , то положить и перейти к шагу 11.

в) если , то положить и перейти к шагу 13.

г) если , то перейти к шагу 11.

Шаг 11. Получить точку .

Шаг 12. Определить из условия .

Шаг 13. Вычислить . Положить и перейти к шагу 3.

Замечание:

Если ограничения в задаче линейны, то при на шаге 3 переходим к шагу 8. На шаге 10 следует положить .

Пример: Найти минимум в задаче

Решение:

Ограничение в задаче является линейным (см. рисунок 4.2).

Рисунок 4.2

1. Зададим , M =5.

2. Положим k = 0.

30. Проверим условие : .

40.Вычисляем матрицу .

50. Вычислим .

60. Находим .

70. Вычисляем .

80. Вычислим : .

90. Вычисляем .

100. Проверяем выполнение условий: :

. Переходим к шагу 11.

110. Получаем точку .

120. Определяем из условия: .

130. Вычисляем . Полагаем и переходим к шагу 3.

31. Проверим условие : .

81. Вычислим : .

91. Вычисляем .

101. Проверяем выполнение условий: :

. Расчет окончен. Вычисляем множитель Лагранжа

. Проверяем достаточные условия минимума. Второй дифференциал функции Лагранжа равен . Дополнительное условие: , откуда . Подставляя в , имеем . Вывод: точка - точка минимума.


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 103 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Общие принципы методов поиска условного экстремума | Метод штрафов | Метод барьерных функций | Применение обратной штрафной функции | Комбинированный метод штрафных функций | Метод множителей | Метод Зойтендейка | Пример отчета по лабораторной работе |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Метод точных штрафных функций| Применение метода в задаче с ограничениями типа неравенств.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)