Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Линейные неоднородные уравнения в частных производных I степени

Читайте также:
  1. VIII. ВВЕДЕНИЕ В ОБРАЩЕНИЕ ЧАСТНЫХ ДЕНЕЖНЫХ ЗНАКОВ
  2. Анализ степени достижения цели и решения основных задач деятельности по улучшению качества государственных услуг.
  3. Балансовые уравнения
  4. Безразмерные уравнения движения.
  5. Билет 36. Основы теории Максвелла для электромагнитного поля. Ток смещения. Уравнения Максвелла в интегральной форме
  6. Болезни производных кожного покрова
  7. В производных нафталина

Неоднородное уравнение в частных производных I степени записывается в следующем виде:

(6)

где - функция от вектора переменных . Подобно решению линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений, решение уравнений типа (6) ищется в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Для этого, система характеристик (2) дополняется уравнением для функции :

(7)

Система (7) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений в расширенном пространстве. Если решение системы (2), взятое в виде функций по вспомогательным переменным подставить в (7), то последнее уравнение будет представлять собой производную функции : и его можно проинтегрировать по (вдоль характеристики), тем самым получив искомое частное решение: .

Итоговое решение уравнения (6) запишется в виде:

(8) .

Задача Коши решается (с теми же условиями наличия решения) для уравнения (6) также как и для уравнения (1).

(пример №4): задано неоднородное УЧП I степени

а) решаем систему характеристик

Объединяя решения, получим: , отсюда первый интеграл и общее решение УЧП I степени запишется в виде: .

б) находим частное решение, для чего записываем уравнение для :

Итоговое решение запишется в виде: .

На рисунке 6 представлена поверхность функций и нанесены линии характеристик (в плоскости ). Для неоднородных уравнений характерно то, что вдоль линий характеристик функция уже не сохраняет постоянные значения.

Рис. 6 Поверхность функции и линии характеристик.

 

Задания к ч.1 раздела «Уравнения в частных производных I степени ч.1.»

1) Найти общее решение однородных уравнений в частных производных:

Изобразить линии характеристик, примеры функций являющихся решениями данных уравнений.

2) Найти общее решение однородного уравнения

Изобразить линии характеристик, примеры функций являющихся решениями данных уравнений.

Решить задачу Коши для данного уравнения с начальными условиями:

 

 

3) Найти решение неоднородного уравнения

при начальных условиях . Изобразить поверхность функции


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 70 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Задача Коши| Общие сведения

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)