Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Промежутки монотонности функции. Экстремумы функции.

Читайте также:
  1. Банки и их функции. Банковская система РБ
  2. В то же время, старение тела - это прогрессирую­щий ожог химическими веществами, который приводит к повреждению желез и нарушению их функций, вплоть до их полной дисфункции.
  3. В то же время, старение тела - это прогрессирую­щий ожог химическими веществами, который приводит к повреждению желез и нарушению их функций, вплоть до их полой дисфункции.
  4. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба
  5. ДЕНЬГИ И ИХ ФУНКЦИИ.
  6. Дифференциал функции.
  7. Достаточные условия локальных экстремумов функции.

Условие монотонности функции:

Для того, чтобы дифференцируемая на функция не возрастала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащих ее производная была неположительна.

(36)

Для того, чтобы дифференцируемая на функция не убывала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащих ее производная была неотрицательна.

(37)

 

Промежутки, на которых производная функции сохраняет определенный знак, называются промежутками монотонности функции

Пример 19

Найти промежутки монотонности функции .

Решение:

Найдем производную функции .

Найдем промежутки знакопостоянства полученной производной. Для этого

разложим полученный квадратный трехчлен на множители:

.

Исследуем знак полученного выражения, используя метод интервалов.

 

 

-1
 
знак
+
+
-

Таким образом, получаем согласно (36), (37),что заданная функция возрастает на и убывает на .

Ответ: Заданная функция возрастает на и убывает на .

Определение Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , что для всех выполняется условие

().

Локальный минимум или максимум функции называется локальным экстремумом.

Необходимое условие существования экстремума.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если функция имеет в точке экстремум, то производная в точке либо равна нулю, либо не существует.

Точка называется критической точкой функции , если производная в точке либо равна нулю, либо не существует.

 

Достаточные условия наличия экстремума в критической точке .

Пусть точка является критической.

Первое достаточное условие экстремума:

Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и дифференцируема в каждой точке .

Точка является точкой локального максимума, если при переходе через

производная функции меняет знак с плюса на минус.

Точка является локальным минимумом, если при переходе через

производная функции меняет знак с минуса на плюс.


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 121 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Производная сложной функции. | Пример 1 | Пример 6 | Пример 9 | Пример 10 | Пример 12. | Пример 21 | Пример 23 | Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. | Промежутки выпуклости и вогнутости. Точки перегиба. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Пример 18| Пример 20

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)