Понятие дифференцируемости функции

1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке. Пусть функция определена в некотором промежутке X, и пусть точка . Дадим значению х ₀ аргумента приращение — любое, но такое, что и точка . Пусть , т.е. есть приращение функции в точке х ₀, соответствующее приращению аргумента.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке х ₀, если приращение этой функции в точке х ₀ может быть представлено в виде

, (1)

где А — некоторое число, не зависящее от , а — функция аргумента такая, что при . Заметим, что функция в точке может принимать любое значение (при этом в точке х ₀ представление (1) остается справедливым). Ради определенности можно положить, например, . (Тогда частное значение функции в точке будет совпадать с ее предельным значением в этой точке.)

Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке х ₀, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Необходимость. Дано: функция дифференцируема в точке х ₀. Требуется доказать, что существует конечная производная .

► По условию функция дифференцируема в точке х ₀. Но тогда приращение этой функции в точке х ₀, соответствующее приращению аргумента , представимо в виде

,

где при . Предположив, что и поделив обе части последнего равенства на , получим

.

Переходя здесь к пределу при , находим . А это означает, что существует конечная, причем . ◄

Достаточность. Дано: функция имеет в точке х ₀ конечную производную . Требуется доказать, что функция дифференцируема в точке х ₀.

► По условию — существует конечная. Но тогда, как мы знаем, разность есть бесконечно малая функция при . Значит, если положить , то . Имеем, следовательно,

,

откуда

причем при . Видим, что полученное представление совпадает с представлением (1), если обозначить через А не зависящее от число . Тем самым доказано, что функция дифференцируема в точке х ₀. ◄

Замечание. Из доказанной теоремы следует, что дифференцируемость функции в точке х ₀ равносильна существованию в этой точке конечной производной .

2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности функции. Имеет место следующее утверждение.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке х ₀, то она непрерывна в точке х ₀.

► Так как функция дифференцируема в точке х ₀, то ее приращение в этой точке представимо в виде , где А — постоянное число, не зависящее от , а при . Из последнего равенства следует, что , т. е. что бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции. А это означает, что функция непрерывна в точке х ₀. ◄

Замечание. Доказанная теорема необратима: из непрерывности функции в точке х ₀ не вытекает дифференцируемость этой функции в точке х ₀. Существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не являющиеся в этой точке дифференцируемыми. Примером такой функции может служить функция . Эта функция непрерывна в точке , но она не является дифференцируемой в этой точке, ибо у нее в точке не существует производная (это показано в предыдущем § 1).

Дата добавления: 2015-07-20