Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Односторонние производные.

Читайте также:
  1. Карбоновые кислоты и их производные. Жиры

I. Пусть функция определена в точке х0 и в некоторой правосторонней окрестности u+ (x 0) этой точки. В этом случае для вычисления предела отношения приходится ограничиться приближением к нулю лишь справа (; стремится к нулю, оставаясь больше нуля).

Если существует конечный или бесконечный (определенного знака) предел , то этот предел называется соответственно конечной или бесконечной правосторонней производной функции в точке x 0 и обозначается .

II. Пусть функция определена в точке x 0 и в некоторой левосторонней окрестности u- (x 0) этой точки. В этом случае при вычислении предела отношения приходится ограничиться приближением к нулю лишь слева (; стремится к нулю, оставаясь меньше нуля).

Если существует конечный или бесконечный (определенного знака) предел , то этот предел называется соответственно конечной или бесконечной левосторонней производной функции в точке х0 и обозначается .

Замечание. Об односторонних производных функции в точке х0 можно говорить и в случае, когда эта функция определена в точке х0 и в некоторой окрестности u (x 0) точки x 0 (т. е. определена одновременно и в u+ (x 0) и в u- (x 0)).

Для функции , определенной в u (x 0), справедливы утверждения:

1. Если у функции в точке x 0 существует конечная или бесконечная (определенного знака) обычная (т. е. двусторонняя) производная , то у этой функции в точке x 0 существуют одновременно и , причем .

2. Если у функции в точке x 0 существуют одновременно конечные или бесконечные (определенного знака) и и если , то у этой функции в точке х 0 существует соответственно конечная или бесконечная (определенного знака) обычная (т. е. двусторонняя) производная , равная общему значению односторонних производных.

Отметим, что бывают случаи, когда у функции в точке х 0 существуют одновременно и , но . В этих случаях обычной (т. е. двусторонней) производной у функции в точке х 0 нет.

В качестве примера рассмотрим функцию . Найдем правостороннюю и левостороннюю производные этой функции в точке . Имеем

.

Если , то и, следовательно,

.

Если , то и, следовательно,

.

Видим, что . Значит, производная функции в точке в обычном смысле (т. е. двусторонняя) не существует.

В качестве еще одного примера рассмотрим функцию . Найдем правостороннюю и левостороннюю производные этой функции в точке . Имеем

.

Следовательно,

;

.

Видим, что и в этом примере . Значит, у функции в точке не существует обычной (т. е. двусторонней) производной.

Графики функций и имеют вид, схематически изображенный на рис. 4.7 и 4.8 соответственно.

Рис. 4.7. не существует Рис. 4.8. не существует

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 166 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Формулы и правила вычисления производных | Простейшие правила вычисления производных. | Правило дифференцирования сложной функции. | Правила дифференцирования обратных функций. | Дифференциал функции | Сводка формул для дифференциалов. | Производные высших порядков | Механическое истолкование второй производной. | Дифференциалы высших порядков | Дифференцирование функции, заданной параметрически |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Производная. Механический и геометрический смысл производной| Понятие дифференцируемости функции

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)