Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Экстремум функции двух переменных

Читайте также:
  1. HR– менеджмент: технологии, функции и методы работы
  2. II Частные производные функции нескольких переменных
  3. III Полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференциалы высших порядков
  4. III. Основные функции Управления
  5. IV. Функции
  6. IV. Функции
  7. V2: Период функции

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Пусть функция z=f(x) определена в некоторой области D, точка N0(x0) D. Точка N0(x0) называется точкой максимума функции z=f(x), если существует δ - окрестность точки N0(x0), что для каждой точки x, отличной от N0(x0), из этой окрестности выполняется неравенство f(x) > f(x0). Аналогично определяется точка минимума функции, т.е. если выполняется неравенство f(x) < f(x0), то N0(x0) - точка минимума.

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумом.

 

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N0(x0) дифференцируемая функция z=f(x) имеет экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю: f'(x0)=0.

 

Теорема 2 (достаточные условия экстремума).

а) Если производная f'(x) при переходе через точку x0 меняет знак с плюса на минус, то точка x0 является точкой максимума функции f(x).

б) Если производная f'(x) при переходе через точку x0 меняет знак с минуса на плюс, то точка x0 является точкой минимума функции f(x).

 

Пример 1. Найти экстремумы функции f(x)=x2(1-x).

1) Находим производную функции:

f’(x)=2x(1-x) – x2 = 2x-3x2=x(2-3x).

2) Находим f’(x)=0:

x(2-3x)=0 => x1=0; x2=2/3.

3) Анализируем знаки производной функции на участках:

f’(x)<0, x<0;

f’(x)>0, 0<x<2/3;

f’(x)<0, x>2/3.

4) Вывод:

Точка x1=0 – точка минимума, f(x1)=f(0)=0.

Точка x2=2/3 – точка максимума, f(x2)=f(2/3)=4/27.

 

Задание:

1. f(x)=x2/3 (x-3). Корни: 0; 6/5 – точка минимума. - - +

2. f(x)=xe-0.5x. f’(x)=e-0.5x+x(-0.5e-0.5x)=e-0.5x(1-0.5x); e-0.5x(1-0.5x)=0; x=2; + - x=2 - max

3. f(x) = x ln(x).


ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой области D, точка N0(x0;y0) D. Точка N0(x0;y0) называется точкой максимума функции z=f(x,y), если существует δ - окрестность точки N0(x0;y0), что для каждой точки (x,y), отличной от N0(x0;y0), из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y) > f(x0;y0). Аналогично определяется точка минимума функции, т.е. если выполняется неравенство f(x,y) < f(x0;y0), то N0(x0;y0) - точка минимума.

 

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N0(x0;y0) дифференцируемая функция z=f(x,y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f'x(x0;y0)=0, f'y=(x0;y0)=0.

Точка в которой частные производные первого порядка функции z=f(x,y) равны нулю, т.е. f'x=0, f'y=0, называется стационарной точкой функции z (или точкой возможного экстремума).

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует называется критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремума, а может не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но недостаточным условием существования экстремума. Для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

 

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в стационарной точке N0(x0;y0) и некоторой ее окрестности функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке N0(x0;y0) значения A=f'x'x(x0;y0), B=f'x'y(x0;y0), C=f'y'y(x0;y0). Обозначим

Тогда:

1. Если Δ>0, то функция f(x,y) в точке N0(x0;y0) имеет экстремум: максимум, если A<0: минимум, если A>0.

2. Если Δ<0, то функция f(x,y) в точке N0(x0;y0) экстремума не имеет.

3. В случае Δ=0 экстремум в точке N0(x0;y0) может быть, может не быть. Необходимо дополнительные исследования.



Пример 2.

Найти экстремум функции z = 3 x2 y – x3 – y4

Имеем z'x = 6xy – 3x2, z'y = 3x2 – 4y3.

Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

отсюда получаем точки M1(6;3) и M2(0;0).


Находим частные производные второго порядка данной функции:
z'x'x = 6y - 6x, z'x'y = 6x, z'y'y = –12y2

В точке M1(6;3) имеем: A=-18, B=36, C=-108 отсюда
AC-B2=-18•(-108)•-362=648, т.е. Δ>0

Так как A<0, то в точке M1(6;3) функция имеет локальный максимум: zmax=z(6;3)-3•36•3-63-34=27.

В точке M2(0;0): A=0, B=0, C=0 и значит, Δ=0. Проведем дополнительное исследование. Значение функции z в точке M2 равно нулю: z(0;0)=0. Можно заметить, что z=-y4<0 при x=0, y≠0: z=-x3>0 при x≠0, y=0. Значит, в окрестности точки M2(0;0) функция z принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке M2 функция экстремума не имеет.


 

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3
Найти стационарные точки:
  , а – параметр  
, a, b – параметры
, a, b, с – параметры
Найти точки экстремума функции:

 

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 104 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Канцелярит| Налоговый кодекс: поправки по НДС, НДФЛ и налогу на прибыль

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)