Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Равномерное приближение функции. Многочлены Чебышева

Читайте также:
  1. Банки и их функции. Банковская система РБ
  2. Билет № 4. Равномерное прямолинейное движение. 10 класс. 2012 г
  3. Билет № 4. Равномерное прямолинейное движение. Факультатив.2012 г
  4. В то же время, старение тела - это прогрессирую­щий ожог химическими веществами, который приводит к повреждению желез и нарушению их функций, вплоть до их полной дисфункции.
  5. В то же время, старение тела - это прогрессирую­щий ожог химическими веществами, который приводит к повреждению желез и нарушению их функций, вплоть до их полой дисфункции.
  6. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба
  7. ДЕНЬГИ И ИХ ФУНКЦИИ.

Определение 4.1. Многочлен Pn (x) равномерно приближает на отрезке [ a, b ] функцию f (x) с точностью до ε, если выполняется неравенство

 

. (4.21)

 

Приведем без доказательства теорему Вейерштрасса.

Теорема 4.1 (Вейерштрасс). Если функция f (x) непрерывна на отрезке
[ a, b ], то для любого ε > 0 найдется многочлен Pn (x) достаточно высокой степени n, который равномерно приближает на отрезке [ a, b ] функцию f (x) с точностью до ε, т.е. выполняется (4.21).

Определение 4.2. Многочлен Pn (x) называется многочленом наилучшего приближения для функции f (x) на отрезке [ a, b ], если для любого многочлена Qn (x) степени n выполняется неравенство

 

. (4.22)

 

Многочлены Чебышева определяются рекуррентными формулами

 

T 0(x) = 1, T 1(x) = x, Tn + 1(x) = 2 xTn (x) – Tn – 1(x) при n > 1. (4.23)

 

Выпишем многочлены Чебышева Tn (x) для n = 2, 3, 4, 5:

 

T 2(x) = 2 xT 1(x) – T 0 = 2 x 2 – 1, T 3(x) = 2 xT 2(x) – T 1 = 4 x 3 – 3 x,

 

T 4(x) = 8 x 4 – 8 x 2 + 1, T 5(x) = 16 x 5 – 20 x 3 + 5 x.

 

На рис.4.1 представлены графики многочленов Чебышева Tn (x) для
n = 0, 1, 2, 3 на отрезке [–1; 1].

Рис. 4.1

 

Старший коэффициент многочлена Tn (x), т.е. коэффициент при xn, равен 2 n – 1.

Справедливо представление многочленов Чебышева через тригонометрические функции

 

Tn (x) = cos(n arсcos x), при n ≥ 0. (4.24)

 

Поэтому

| Tn (x)| ≤ 1 для | x | ≤ 1. (4.25)

 

Корни многочлена Чебышева принадлежат отрезку [–1; 1]:

 

(4.26)

 

Многочлены Чебышева Tn (x) с четными индексами являются четными функциями, а с нечетными индексами — нечетными функциями.

Многочлены Чебышева Tn (x) обладают следующим замечательным свойством. Если умножить Tn (x) на 21 – n, то получится многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [–1; 1].

Теорема 4.2. Если Pn (x) произвольный многочлен степени n со старшим коэффициентом 1, то справедливо неравенство

 

, (4.27)

 

где .

Отметим здесь, что в некоторых учебниках по численным методам [8] многочленом Чебышева называется многочлен , т.е. многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [–1; 1].

Поясним смысл теоремы 4.1 на примерах.

Если n = 2, то теорема 4.1 утверждает, что наибольшее значение любой квадратной функции вида x 2 + px + q на отрезке [–1; 1] не меньше 21 – 2 = 0,5.

Наибольшее значение любого многочлена вида x 3 + px 2 + qx + r на отрезке [–1; 1] не меньше 21 – 3 = 0,25.

Среди всех квадратных функций вида x 2 + px + q наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [–1; 1] многочленом является функция

 

21 – 2 T 2(x) = x 2 – 0,5.

 

Среди всех многочленов вида x 3 + px 2 + qx + r наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [–1; 1] является многочлен

 

21 – 3 T 3(x) = (4 x 3 – 3 x)/4 = x 3 – 0,75 x.

 

Для произвольного отрезка [ a, b ] многочлен со старшим коэффициентом 1, наименее уклоняющийся от нуля, получается из заменой

 

.

 

Этот многочлен имеет вид

 

. (4.28)

 

Корнями многочлена являются точки

 

. (4.29)

 

Многочлены Чебышева используются для минимизации погрешности интерполяционной формулы за счет оптимального выбора узлов интерполяции. В формуле остаточного члена (4.19) у многочлена П n + 1(x) старший коэффициент равен 1. Для минимизации погрешности интерполяционной формулы для функции f (x) на отрезке [ a, b ] нужно взять в качестве узлов интерполяции точки

 

. (4.30)

 

являющиеся корнями многочлена . Тогда погрешность интерполяции оценивается неравенством

 

. (4.31)

 

Пример 4.5. Построить для функции f (x) = sin(π x) на отрезке [0; 2] наилучший интерполяционный многочлен 3-го порядка. Построить графики многочлена и данной функции в одной системе координат.

Решение. Наилучший интерполяционный многочлен 3-го порядка мы получим, если в качестве узлов интерполяции точки выберем точки по формуле (4.30):

 

 

Для вычисления многочлена воспользуемся формулой Лагранжа и аналогично примеру 4.4 составим формулы. В таблице 4.7 приведены расчетные формулы.

Табл. 4.7.

  A B C D E F G H I J
  x=                  
  i xi yi           Di yi/Di
    0,076 0,237 =x-$B3 =B3-B$4 =B3-B$5 =B3-B$6   =ПРОИЗВЕД (D3:G3) =C3/I3
    0,617 0,934 =B4-B$3 =x-$B4 =B4-B$5 =B4-B$6   =ПРОИЗВЕД (D4:G4) =C4/I4
    1,383 -0,934 =B5-B$3 =B5-B$4 =x-$B5 =B5-B$6   =ПРОИЗВЕД (D5:G5) =C5/I5
    1,924 -0,237 =B6-B$3 =B6-B$4 =B6-B$5 =x-$B6   =ПРОИЗВЕД (D6:G6) =C6/I6
                     
                    =СУММ (J3:J6)
                =D3*E4 *F5*G6   =H9*J8

 

Поочередно подставляя в ячейку B 1 значения 0; 0,2; 0,4; …, 2 в ячейке J 9 получим значения многочлена L 3(x). Вычислим в тех же точках sin(π x). Результаты приведены в таблице 4.8. На рис.4.2 приведены графики многочлена L 3(x) и данной функции sin(π x).

Табл. 4.8

x L 3(x) sin(π x)
  -0,195  
0,2 0,733 0,587785
0,4 1,068 0,951057
0,6 0,959 0,951057
0,8 0,554 0,587785
    5,36E-08
1,2 -0,554 -0,58779
1,4 -0,959 -0,95106
1,6 -1,068 -0,95106
1,8 -0,733 -0,58779
  0,195 -1,1E-07

 

 

Рис. 4.2

 

Как видно из рис. 4.2, графики хорошо согласуются. Это объясняется тем, что кубическая парабола учитывает симметрию синусоиды на данном участке. Очевидно, что если бы мы выбрали четный многочлен L 2(x) или L 4(x), то такого приближения не получили.


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 760 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Приближение функций | Интерполяция | Интерполяционные формулы Ньютона | Интерполяционная формула Лагранжа | Аппроксимация. Метод наименьших квадратов | Задачи для самостоятельного решения |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа| Интерполяция сплайнами

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)