Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Интерполяция и экстраполяция

Читайте также:
  1. Интерполяция
  2. Интерполяция сплайнами
  3. Экстраполяция экспериментальных данных на человека

Интерполяция — способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

В научных и инженерных расчетах часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путем или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Например, известны некоторые значения функции — физической величины, замеренные через 1 ч. Необходимо найти значения в промежутках через 30 мин.

Интерполяцией называют такую разновидность аппроксима­ции, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция тишком сложна для производительных вычислений, можно по­пытаться вычислить ее значение в нескольких точках, а по ним построить, т. е. интерполировать, более простую функцию. Разу­меется, использование упрощенной функции не позволяет полу­чить такие же точные результаты, какие давала бы первоначаль­ная функция, но в некоторых классах задач достигнутый выиг­рыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Наиболее часто встречающимся видом точечной аппрокси­мации является интерполяция. Пусть задан дискретный набор то­чек xi (i =0, 1,..., п), называемых узлами интерполяции, причем среди этих точек нет совпадающих, а также значения функции уi в этих точках. Требуется построить функцию g(x), проходящую через все заданные узлы. Таким образом, критерием близости функции является g(xi)=yi. В качестве функции g(x) обычно (набирается полином, который называют интерполяционным полиномом. В том случае, если полином един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная.

В тех случаях, когда между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной или локальной интерполяции. Найдя интерполяционный полином, можно вычислить значения функ­ции f(x) между узлами (провести интерполяцию в узком смысле слова), а также определить значение функции f(x) даже за пре­делами заданного интервала (провести экстраполяцию ).

Пусть имеется п значений хi, каждому из которых соответст­вует свое значение уi. Требуется найти такую функцию F, что:

 

F(xi) =уi, i=0, 1,..., п.

 

При этом:

хi называют узлами интерполяции;

• пары (хi, уi) называют точками данных;

• разницу между соседними значениями (хi – хi-1) называют шагом;

• функцию F(x) — интерполирующей функцией или интерполянтом.

Задача интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции в некоторых точках восстановить ее значения в остальных точках отрезка. Функция F называется интерполирую щей, точки х0, х1, х2,..., хn — узлами интерполяции.

Будем искать функцию F ввиде многочлена степени п:

 

F(x) = a0xn + a1xn-1 +... + аn-1х + аn.

 

Можно найти коэффициенты ai, i=0, 1,..., п, при этом получим систему из (п + 1) уравнения с (п + 1) неизвестными

 

Эта система имеет единственное решение, так как по нашему предположению все хi различны. Решая эту систему относительно неизвестных а0, a1,..., аn, получим аналитическое выражение многочлена.

Описанный прием можно использовать при решении задач интерполирования, но на практике используют другие более удобные и менее трудоемкие методы.

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 159 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Решение | Разности различных порядков. Разделенные разности | Решение | Интерполяционный многочлен Ньютона | Решение | Индивидуальные задания |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Глава XXX| Интерполяционный многочлен Лагранжа

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)